高中数学竞赛专题之数列Word文件下载.docx

1、a jl（脚标和相同则对应的l 11项的和相同）；若 an 为等比数列，且a jl （脚标和相同则对j l ，那么应的项的积相同） 。3：若 an 为等差数列，记S1ai , S2ai k , Smai（m 1） k ,ii 1 Sm 仍为等差数列， an 为等比数列， 记 P1ai , P2, Pm，那么 Pm 仍为等比数列。性质 4：若 an 为等比数列，公比为q，且 |q| 1，则 lim Sna1。nq例 1、若 an 、 bn 为等差数列，其前n 项和分别为 Sn ,TnSn2n，若3nTn则 liman）A.1B.6C.24（D.bn39例 2、等差数列 an 的前 m 项和为 3

2、0，前 2m 项和为100，则它的前3m 项的和为（）A.130B. 170C. 210D.260例 3、 an 、 bn 为等差数列，其前31n 项和分别为 Sn ,Tn ，若31n（1）求 b28 的值， （ 2）求使 bn 为整数的所有正整数n。a28 an例 4、在等差数列 an 中，若 a100 ，则有等式a1 a2an a1a2a19 n , （n 19, nN ） 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列 bn 中，若b91，则有等式成立。例 5、一个正数，其小数部分、整数部分和其本身成等比数列，则该数为 。例6、设（ 十进制） 位纯小数 0.|只取 0或1，1,2,1 ，an a

3、in anM n是 M n 的元素个数，Sn 是所有元素的和，则 lim7、设 A=1,2, n, Sn 是 A的所有非空真子集元素的和，Bn 表示 A的子集个数，求的值。lim 2n Bn8 、 设 数 列 an 的 前n 项 和 为 Sn2an1, （ n） ， 数 列 bn 满 足b13, bkakbk , （k 1,2,） ，求数列 bn 的前 n 项和。方法：首先找出 an 的通项式，在找出 bn 的通项式9、设 an 为等差数列， bn 为等比数列，且 b1, b3a2 ） ，a1 , b2 a2a3 , （a1又 lim （b1b2bn ）1 ，试求 an 的通项公式。例 10、

4、设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，且 Sn3 （a n1）, （ nN ） ，数列 bn 的通项式为 bn4n（1）求数列 an 的通项公式，（2）若 d a1 , a2 ,an , b1 , b2 , bn , ，则称 d 为数列 an 与 bn 的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列 d n ，证明： d n 的通项公式为d n32n 1 , （ n N ） 。例 11、 n 2 （n 4） 个正数排成 n 行 n 列：a11 , a12 , a13 ,a1na 21 , a 22 , a23a2na n1 , an2 , a n3 , ann其中每一行的数成等差数

5、列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，已知a24 1, a42+ ann 的值。, a43，求 a11 + a22 + a33816作业：1、将正奇数集合 1 ，3，5， 由小到大按9 ， 11， 13， 15， 17 .，则 1991 位于n 组有 （2n-1） 个奇数进行分组：组中。1、3 ，5，7 、2 、 在 等 差 数 列 an 中 ， 公 差 d 0 ， a2 是 a1与 a4 的 等 比 中 项 ， 已 知 数 列a1 , a3 , ak1 , a k2 , , a kn , 成等比数列，求数列 kn 的通项公式。3、设正数数列 an 满足 21, bn2an 3 ，（

6、1）求数列 an 的通项公式，（2）设2（m nam bnmnM am） ，试求 M 的最小值。二、数学归纳法数学归纳法在一定程度上考察了以下能力： （ 1）从整体上直接领悟数学对象本质的能力；（2）从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力； （ 3）从解题思路和问题结果中领悟数学本质的能力。第一数学归纳法： 设 T（n） 是一个关于自然数 n 的命题， 满足以下条件：（ 1）T （1） 是成立的，（2）假设 T（ k） 成立能推出 T （k 1） 成立，则命题对一切自然数 n 都成立。第二数学归纳法：（2）假设 T （1） ，T （2） ， T （k） 成立能推出 T （ k 1）

7、 成立，则命题对一切自然数 n 都成立。解题思维过程：尝试观察归纳、猜想证明，即从特殊关系中概括一般规律，建立猜想，给出严格证明。解题策略：从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征去思考问题。例 1、已知对任意自然数n，有 an0且a3j （a j ） 2 ，求证 ann （ 1989 年高中）j 1j例 2、用 Sn 表示 1,2,3,2 n 的各数的最大奇数因子之和，求证：（4 n2）例 3、设 an 是正数数列且满足 Sn 1 （an 1 ） ，求数列 an 的通项公式。2 an尝试观察归纳、猜想证明例 4、已知数列 xn 满足： x11，当 n 1时，有 4（ x1 xn 2x2 xn 13x3 xn 2nxn x1） （n 1）（ x1 x2 x2 x3xn xn 1 ） ，试求数列 xn 的通项公式。例 5 、一个数列 Vn 定义如下： V0 2, V15 ,Vn 1