届人教A版文科数学圆锥曲线中的存在探索问题单元测试Word下载.docx

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将P代入椭圆E的方程,

得＋＝1,整理,得4m2＝42＋3.

设T（t,0）,Q（－4,m－4）,

∴＝（－4－t,m－4）,＝.

即·

＝＋

＝.

∵42＋3＝4m2,

∴·

＝＝＋.

要使·

为定值,

只需2＝＝为定值,则1＋t＝0,∴t＝－1,

∴在x轴上存在一点T（－1,0）,使得·

为定值.

2.【山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中2017届高三第一次联考】已知椭圆C:

的左焦点为F,为椭圆上一点,AF交y轴于点M,且M为AF的中点.

（I）求椭圆C的方程；

（II）直线与椭圆C有且只有一个公共点A,平行于OA的直线交于P,交椭圆C于不同的两点D,E,问是否存在常数,使得,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.

【答案】

（I）（II）

（Ⅰ）设椭圆的右焦点是,在中,…………2分

所以椭圆的方程为…………4分

（Ⅱ）设直线DE的方程为,解方程组

消去得到若

则,其中…………6分

又直线的方程为,直线DE的方程为,…………8分

所以P点坐标,

所以存在常数使得…………12分

3.【2017长郡中学高三入学考试】已知椭圆的两个焦点分别为,,以椭圆短轴为直径的圆经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆相交于两点,设直线的斜率分别为,问是否为定值？

并证明你的结论.

（1）;

（2）为定值2.

（1）由已知得：

由已知易得,解得,则椭圆的方程为.

（2）①当直线的斜率不存在时,由,解得,设,.

②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,将代入整理化简,得

依题意,直线与椭圆必相交于两点,设,则,,

又,,

所以

综上得：

为定值2.

4.【广东省惠州市2017届高三第一次调研考试】已知点,,直线与直线相交于点,直线与直线的斜率分别记为与,且．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过定点作直线与曲线交于两点,的面积是否存在最大值？

若存在,求出面积的最大值；

（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

（Ⅰ）设,则,

所以所以

（Ⅱ）由已知当直线的斜率存在,设直线的方程是,

联立,消去得,

因为,所以,

设,

........10分

当且仅当时取等号,

面积的最大值为．

5.【2016届云南师范大学附属中学高三月考】如图,过椭圆内一点的动直线与椭圆相交于M,N两点,当平行于x轴和垂直于x轴时,被椭圆所截得的线段长均为.

（2）在平面直角坐标系中,是否存在与点A不同的定点B,使得对任意过点的动直线都满足？

若存在,求出定点B的坐标,若不存在,请说明理由.

（1）；

（2）存在点B的坐标．

（Ⅰ）由已知得,点在椭圆上,

所以,解得,

所以椭圆的方程为．

下面证明：

对任意直线l,都有,即．

当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立；

当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为．

设M,N的坐标分别为,

由得,

其判别式,

所以,,

因此,．

易知点N关于y轴对称的点的坐标为

又,

所以,即三点共线,

所以．

故存在与点A不同的定点,使得．

6．【2016届江苏省如东高中高三上学期期中】已知椭圆,F为椭圆的右焦点,点A,B分别为椭圆的上下顶点,过点B作AF的垂线,垂足为M．

（1）若,的面积为1,求椭圆方程；

（2）是否存在椭圆,使得点B关于直线AF对称的点D仍在椭圆上,若存在,求椭圆的离心率的值；

若不存在,说明理由．

（1）

（2）不存在

（1）直线,直线．

联立可得．

又因为,所以．

所以椭圆方程为．

因为,所以．

代入椭圆方程得．

化简得．

因为,所以方程无解．

所以不存在这样的椭圆,使得点关于直线对称的点仍在椭圆上．

7．【2016届广东省惠州市高三第一次调研考试】在平面直角坐标系中,已知圆心在轴上,半径为4的圆位于轴右侧,且与轴相切．

（I）求圆的方程；

（II）若椭圆的离心率为,且左右焦点为．试探究在圆上是否存在点,使得为直角三角形？

若存在,请指出共有几个这样的点？

并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

（I）;

（Ⅱ）存在,有四个这样的点.

（i）过作轴的垂线,交圆,则,符合题意；

9分

（ii）过可作圆的两条切线,分别与圆相切于点,

连接,则,符合题意．11分

综上,圆上存在4个点,使得为直角三角形．12分

8.如图所示,椭圆：

的离心率是,过点

的动直线与椭圆相交于两点,当直线平行于轴时,直线被椭圆截得的

线段长为.

（2）在平面直角坐标系中,是否存在与点不同的定点,使得恒成立？

（1）由已知点在椭圆上.

所以,解得,.所以椭圆方程为.

（2）当直线与轴平行时,设直线与椭圆相交于两点.

如果存在定点满足条件,则,即.

所以点在轴上,可设点的坐标为.

当直线与轴垂直时,设直线与椭圆相交于两点.

则,,由,

有,解得或.

所以,若存在不同于点的定点满足条件,则点的坐标只可能为.

对任意的直线,均有.

当直线的斜率不存在时,由上可知,结论成立.

当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,的坐标分别为,.

联立,得.

其判别式,,

所以,.

因此.

易知,点关于轴对称的点的坐标为.

又,,,

所以,即三点共线.

所以.

故存在与点不同的定点,使得恒成立.

9.在平面直角坐标系中,已知椭圆：

（）的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）在椭圆上,是否存在点,使得直线：

与圆：

相交于不同的两点、,且的面积最大？

若存在,求出点的坐标及对应的的面积；

若不存在,请说明理由

（Ⅰ）因为,所以,于是.1分

设椭圆上任一点,椭圆方程为,,=

①当,即时,（此时舍去；

3分

②当即时,5分

综上椭圆C的方程为.6分

（Ⅱ）圆心到直线的距离为,弦长,所以的面积为8分

点,10分

当时,由得

综上所述,椭圆上存在四个点、、、,使得直线与圆相交于不同的两点、,且的面积最大,且最大值为.12分

10．如图,已知椭圆：

其左右焦点为及,过点的直线交椭圆于两点,线段的中点为,的中垂线与轴和轴分别交于两点,且、、构成等差数列.

（2）记△的面积为,△（为原点）的面积为．试问：

是否存在直线,使得？

说明理由．

（1）因为、、构成等差数列,

所以,所以.（2分）

又因为,所以,（3分）

所以椭圆的方程为.（4分）

故点的横坐标为．所以．（8分）

因为,所以,解得,

即（10分）

和相似,若,则（11分）

所以,（12分）

整理得．（13分）

因为此方程无解,所以不存在直线,使得．（14分）

11.【2015吉林省吉林市高三第二次模拟】如图,已知椭圆C:

的左、右焦点为,其上顶点为.已知是边长为的正三角形.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点任作一动直线交椭圆C于两点,记若在线段上取一点使得,试判断当直线运动时,点是否在某一定直线上运动？

若在请求出该定直线,若不在请说明理由.

（1）是边长为的正三角形,则,1分

故椭圆C的方程为.3分

（2）直线MN的斜率必存在,设其直线方程为,并设.

联立方程,消去得,则

4分

由得,故.5分

设点R的坐标为,则由得,解得

.8分

从而,故点R在定直线上.10分

12.定义：

我们把椭圆的焦距与长轴的长度之比即,叫做椭圆的离心率.若两个椭圆的离心率相同,称这两个椭圆相似.

（1）判断椭圆与椭圆是否相似？

并说明理由；

（2）若椭圆与椭圆相似,求的值；

（3）设动直线与

（2）中的椭圆交于两点,试探究：

在椭圆上是否存在异于的定点,使得直线的斜率之积为定值？

若存在,求出定点的坐标；

若不存在,说明理由.

（1）,相似；

（2）由,得；

8分

（3）设、、、（为常数）,将代入,整理得10分

则有（＊）

由得,即

亦即（＊＊）

将（＊）代入（＊＊）整理得：

12分

因为对动直线,总要存在定点,所以上式成立与无关,因此必须有14分

得,或,.16分