二次函数中的面积计算问题.docx

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二次函数中的面积计算问题

二次函数中的面积计算问题

［典型例题］

例.如图，二次函数y=x2+bx+c图象与x轴交于A,B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为M，MAB为直角三角形,图象的对称轴为直线x=-2，点P是抛物线上位于A,C两点之间的一个动点，则

二次函数中面积问题常见类型：

一、选择填空中简单应用二、不规则三角形面积运用S=三、运用四、运用相似三角形五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形

且AE=BF=CG=DH,设小正方

例2.解答下列问题：

如图1，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B.

（1）求抛物线和直线AB的解析式；

（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；

9

（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB＝9S△CAB，若存在，△PAB8△CAB求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

思路分析此题是二次函数中常见的面积问题，方法不唯一，可以用割补法，但有些繁琐，如图2我们可得出一种计算三角形面积的新方法：

SABC=1ah即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.掌握这个公式后，思路直接，过程较为简单，计算量相对也少许多，答案:

（1）由已知，可设抛物线的解析式为y1＝a（x－1）2＋4（a≠0）．把A（3，0）代入解析式求得a＝－1，∴抛物线的解析式为y1＝－（x－1）2＋4，即y1＝－x2＋2x＋3．

设直线AB的解析式为y2＝kx＋b，

由y1＝－x2＋2x＋3求得B点的坐标为（0，3）．把A（3，0），B（0，3）代入y2＝kx＋b，解得k＝－1，b＝3．

∴直线AB的解析式为y2＝－x＋3．

2）∵C（1，4），∴当x＝1时，y1＝4，y2＝2．∴△CAB的铅垂高CD＝4－2＝2．S△CAB＝×3×2＝3（平方单位）．

3）解：

存在．

设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h．

则h＝y1－y2＝（－x2＋2x＋3）－（－x＋3）＝－x2＋3x

19

×3×（－x2＋3x）＝×3．

28

整理得4x2－12x＋9＝0，解得x＝3．

2

3

把x＝3代入y1＝－x2＋2x＋3，得y1＝15．

例3.（贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（点A转到点C的位置），抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过C、D、B三点．

1）求抛物线的解析式；

2）若抛物线的顶点为P，求△PAB的面积；

3）抛物线上是否存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积？

若存在，请求出点M的坐标；若

不存在，请说明理由．

思路分析:

根据题目所给信息，函数关系式和△PAB的面积很容易求出。

第（3）问是二次函数中常见的动点问题，由于点M是抛物线上的一个不确定点，点M可以处于不同的位置，是由于点的不确定性而导致图形的形状发生特征上的变化，故而用分类讨论的思想解决问题。

答案:

（1）由题意知C（－2，0），D（0，4）．

19119＝1×（1＋4）×9－1×4×2－1×（9－2）×1＝6．

22222

3）假设存在这样的点M，其坐标为M（x，y）．则S△MBC＝|y|×6＝S△PAB＝6

MBC2PAB即1|y|×6＝6，∴y＝±2．

当y＝2时，－1（x－1）2＋9＝2，解得x＝15；22

当y＝－2时，－1（x－1）2＋9＝－2，解得x＝113．

22

∴存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积，其坐标为：

M1（1＋5，2），M2（1－5，2），M3（1＋13，－2），M4（1－13，－2）．

例4．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1>x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2－2x－8＝0的两个根．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；

（3）探究：

若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．y

解：

（1）解方程x2－2x－8＝0，得x1＝－2，x2＝4．

∴A（4，0），B（－2，0）．∵抛物线与x轴交于A，B两点，∴可设抛物线的解析式为y＝a（x＋2）（x－4）（a≠0）

又∵抛物线与y轴交于点C（0，4），∴a×2×（－4）＝4，

a＝

∴抛物线的解析式为y＝－12（x＋2）（x－4），即y＝－

2）设点P的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，∵A（4，0），B（－2，0），∴AB＝6，BP＝m＋2．∵PE∥AC，∴△BPE∽△BAC．

EGBPEGm＋22m＋4

∴＝，∴＝，∴EG＝

COAB463

∴S△CPE＝S△CBP－S△BPE

＝1BP·CO－1BP·EG

22

＝－13（m－1）2＋3

又∵－2≤m≤4，∴当m＝1时，S△CPE有最大值3．

此时点P的坐标为（1，0）

3）存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，点Q的坐标为：

Q1（1，1），Q2（1，11），Q3（1，－11），Q4（1，4＋19），Q5（1，4－19）

设点Q的坐标为（1，n）．yQ4

∵B（－2，0），C（0，4），∴BC2＝（－2）2＋42＝20．

1当QB＝QC时，则QB2＝QC2．即（－2－1）2＋y2＝（－1）2＋（4－y）2，∴y＝1．∴Q1（1，1）

2当BC＝BQ时，则BQ2＝BC2．即（－2－1）2＋y2＝20，∴y＝11．∴Q2（1，11），Q3（1，－11）．

3当QC＝BC时，则QC2＝BC2．

即12＋（4－y）2＝20，∴y＝419．

∴Q4（1，4＋19），Q5（1，4－19）．

例5．如图1，抛物线y＝x2－2x＋k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－3）．（图2、图3为解答备用图）

（1）k＝，点A的坐标为，点B的坐标为；

（2）设抛物线y＝x2－2x＋k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？

若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在抛物线y＝x2－2x＋k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

y

图1

y

图2

y

图3

解：

（1）－3，（－1，0），（3，0）；

（2）连结OM，如图1．

∵y＝x2－2x＋k＝（x－1）2－4

∴抛物线的顶点M的坐标为（1，－4）．

S四边形ABMC＝S△AOC＋S△COM＋S△MOB

＝1×1×3＋1×3×1＋1×3×4

222

＝9

说明：

也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求

3）

4）

一个梯形与两个直角三角形面积的和．

设D（m，m2－2m－3），连结OD，如图2．

则0

S四边形ABDC＝S△AOC＋S△COD＋S△DOB

＝12×1×3＋12×3×m＋12×3×［－（m2－2m－3）］＝－

＝－3（m－3）2＋75．

228

3

当m＝3时，四边形ABDC的面积最大．

2

此时m2－2m－3＝（3）2－2×3－3＝－15．

224

－15），使四边形ABDC的面积最大．

4

3

∴存在点D（3，

2

有两种情况：

如图3，过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，

∵在Rt△COB中，OB＝OC＝3，∴∠CBO＝45°，∴∠EBO＝45°，OB＝OE＝3．

∴点E的坐标为（0，3）．∴直线BE的解析式为y＝－x＋3．令－x＋3＝x2－2x－3，解得x1＝－2，x2＝3

y1＝5y2＝0

∴点Q1的坐标为（－2，5）．

如图4，过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2．

∵∠CBO＝45°，∴∠CFB＝45°，∴OF＝OC＝3．

∴点F的坐标为（－3，0）．

∴直线CF的解析式为y＝－x－3．令－x－3＝x2－2x－3，解得x1＝1，x2＝0

y1＝－4y2＝－3

∴点Q2的坐标为（1，－4）．

综上所述，在抛物线y＝x2－2x－3上，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形的点Q有两个，分别是：

Q1（－2，5）和Q2（1，－4）．

［精选练习］

1.如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图像大致为（）

k

2．如图，已知A、B是反比例函数y=k（k>0，x<0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C。

动点x

P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C。

过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N。

设四边形OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为

3.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是

5．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在

（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？

若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）如果点P是

（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？

若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

6.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（1，0），B（－3，0）两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设

（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

7．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－4与直线y＝x交于点A、B两点，A、B的横坐标分别为－1和4．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）若平行于y轴的直线x＝m（0

（3）在

（2）的条件下，连接OM、BM，是否