二次函数中的面积计算问题.docx

1、二次函数中的面积计算问题二次函数中的面积计算问题典型例题例. 如图，二次函数 y = x2 + bx + c图象与x轴交于A,B两点（A在B的左边），与 y 轴交于点C，顶点为M ， MAB为直角三角形, 图象的对称轴为直线x = -2，点P是抛物线上位于A,C两点之间的一个动点，则二次函数中面积问题常见类型： 一、选择填空中简单应用 二、不规则三角形面积运用 S= 三、运用 四、运用相似三角形 五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形且 AE=BF=CG=DH, 设小正方例 2. 解答下列问题： 如图1，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B.（1）求抛物线和

2、直线 AB 的解析式；（2）求CAB的铅垂高CD及 SCAB ；9（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使SPAB 9 SCAB，若存在， PAB 8 CAB 求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.思路分析 此题是二次函数中常见的面积问题，方法不唯一，可以用割补法，但有些繁琐，如图2 我们可得出一 种计算三角形面积的新方法： S ABC = 1 ah即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.掌握这个公式 后，思路直接，过程较为简单，计算量相对也少许多， 答案:（1）由已知，可设抛物线的解析式为 y1a（x1）24（a0）把 A（3，0）代入解析式求得 a1， 抛物

3、线的解析式为 y1（x1）24，即 y1x 22x3设直线 AB 的解析式为 y2kxb，由 y1x 22x3 求得 B 点的坐标为（0，3）把 A（3，0），B（0，3）代入 y2kxb，解得 k1，b3直线 AB 的解析式为 y2x32）C（1，4），当 x1 时，y14，y22 CAB 的铅垂高 CD422 SCAB 323（平方单位）3）解：存在设 P 点的横坐标为 x，PAB 的铅垂高为 h则 hy1y2（x 22x3）（x3）x 23x193（x 23x） 328整理得4x 212x90，解得x3 23把 x 3 代入 y1x 22x3，得 y1 15例 3. （贵州省遵义市）如图

4、，在平面直角坐标系中， RtAOB 的顶点坐标分别为 A （ 0 ， 2 ），O （ 0， 0 ）， B（4，0），把AOB 绕点O 逆时针方向旋转 90得到COD（点A 转到点 C 的位置），抛物线 yax 2bx c（a0）经过C、D、B 三点1）求抛物线的解析式；2）若抛物线的顶点为 P，求PAB 的面积；3）抛物线上是否存在点 M，使MBC 的面积等于PAB 的面积？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由思路分析:根据题目所给信息，函数关系式和PAB 的面积很容易求出。第（3）问是二次函数中常见的动 点问题，由于点 M是抛物线上的一个不确定点，点 M可以处于不同的位置，是由

5、于点的不确定性 而导致图形的形状发生特征上的变化，故而用分类讨论的思想解决问题。答案:（1）由题意知 C（2，0）， D（0，4）19 1 1 9 1 （14） 9 1 42 1 （9 2）1622 2 2 23）假设存在这样的点 M，其坐标为 M（x，y） 则 SMBC | y |6SPAB 6MBC 2 PAB 即1 | y |66，y2当 y2 时， 1 （x1）2 9 2，解得 x1 5 ； 22当 y2 时， 1 （x1）2 9 2，解得 x1 1322存在点 M，使MBC 的面积等于PAB 的面积，其坐标为：M1（1 5 ，2）， M2（1 5 ，2）， M3（1 13，2）， M

6、4（1 13，2）例 4 如图，抛物线与 x 轴交于 A （ x1 ， 0 ）， B（ x2 ， 0 ）两点，且 x1 x2 ，与 y 轴交于点 C （ 0 ， 4），其 中 x1，x2 是方程 x 22x80 的两个根（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PEAC，交BC于点E，连接CP，当CPE的面积最大 时，求点 P 的坐标；（3）探究：若点 Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点 Q，使QBC 成为等腰三角形，若存 在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 y解：（1）解方程 x 22x80，得 x12，x24A（4，0）， B（

7、2，0） 抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，可设抛物线的解析式为 ya（x2）（x4）（a0）又抛物线与 y轴交于点 C（0，4）， a2（4）4，a抛物线的解析式为y 12 （x2）（x4），即y2）设点P 的坐标为（m，0），过点E 作 EGx轴于点G， A（4，0）， B（2，0）， AB6，BPm2 PEAC，BPEBACEG BP EG m2 2m4 ， ， EGCO AB 4 6 3SCPESCBPSBPE1 BPCO 1 BPEG2213（m1）23又2m4，当 m1 时， SCPE 有最大值 3此时点 P的坐标为（1，0）3）存在这样的点Q，使QBC 成为等腰三角形，点Q 的

8、坐标为：Q1（1，1），Q2（1， 11），Q3（1， 11），Q4（1，4 19），Q5（1，4 19）设点Q 的坐标为（1，n） y Q4B（2，0）， C（0，4）， BC2（2）242201当QBQC时，则QB2QC2 即（21）2y2（1）2（4y）2，y1 Q1（1，1）2当 BCBQ 时，则 BQ2BC2 即（21）2y220，y 11 Q2（1， 11），Q3（1， 11）3当 QCBC时，则 QC2BC2即 12（4y）220，y 4 19Q4（1，4 19），Q5（1，4 19）例 5如图 1，抛物线 yx 22xk 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，

9、3）（图 2、图 3 为解 答备用图）（1）k ，点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ；（2）设抛物线 yx 22xk 的顶点为 M，求四边形 ABMC 的面积；（3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点 D的坐标； 若不存在，请说明理由；（4）在抛物线 yx 22xk 上求点Q，使BCQ 是以 BC为直角边的直角三角形y图1y图2y图3解：（1）3，（1，0），（3，0）；（2）连结 OM，如图 1yx 22xk（x1）24抛物线的顶点 M 的坐标为（1，4）S 四边形 ABMC S AOC S COM S MOB1 13 1 31 1

10、342229说明：也可过点 M 作抛物线的对称轴，将四边形ABMC 的面积转化为求3）4）一个梯形与两个直角三角形面积的和设 D（m，m 22m3），连结 OD，如图 2则 0m3，m 22m30，x0）图象上的两点，BCx轴，交y轴于点C。动点 xP 从坐标原点 O 出发，沿 O A B C （图中“”所示路线）匀速运动，终点为 C 。过 P 作 PM x 轴，PNy轴，垂足分别为M、N。设四边形OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函 数图象大致为3.如图，四边形 ABCD中，BAD=ACB=90，AB=AD，AC=4BC，设 CD的长为 x，四边形 ABCD 的面积为 y，则

11、y与x之间的函数关系式是5如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0），连结 OA，将线段 OA绕原点O 顺时针旋转 120， 得到线段 OB（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标； 若不存在，请说明理由（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么PAB 是否有最大面积？若有， 求出此时P 点的坐标及PAB 的最大面积；若没有，请说明理由6.如图，抛物线 yx 2bxc 与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交 y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最 小？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由；7如图，已知抛物线 yax 2bx4 与直线 yx 交于点 A、B 两点，A、B 的横坐标分别为1 和 4（1）求此抛物线的解析式（2）若平行于y轴的直线xm（0m 5 1）与抛物线交于点M，与直线yx交于点N，交x轴于 点 P ，求线段 MN 的长（用含 m 的代数式表示）（3）在（2）的条件下，连接OM、BM，是否