连云港外国语学校0910学年度第一学期期中考试高三数学试题Word文档格式.docx

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为_____▲______.

8．已知向量满足，则的夹角为　　▲　.

9．设等差数列的公差为，若的方差为1，则=　▲　.

10．已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围为▲．

11．已知、是椭圆+=1的左右焦点，弦过F1，若的周长为，则椭圆的离心率为▲．

12．实数满足，且，

则▲．

13．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f（x）表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f（x）的图象是____▲___.

14．已知数列满足，，，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得5Sn-4nan=_____▲______.

二、解答题（5大题共90分，要求有必要的文字说明和步骤）

15．（本小题满分14分）

已知向量=（1＋tanx，1－tanx），=（sin（x－），sin（x＋））．

（1）求证：

⊥；

（2）若x∈[－，]，求||的取值范围．

16．（本小题满分14分）

在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°

，∠BAC＝∠CAD＝60°

，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．

（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；

（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；

（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．

17．（本小题满分14分）

已知⊙过点,且与⊙:

关于直线对称.

（Ⅰ）求⊙的方程；

（Ⅱ）设为⊙上的一个动点,求的最小值；

（Ⅲ）过点作两条相异直线分别与⊙相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?

请说明理由.

18．（本小题满分16分）

某城市为了解决人民路拥挤现象,政府决定建设高架公路，该高架公路两端的桥墩及引桥已建好，这两桥墩相距1280米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。

假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。

（1）试写出关于的函数关系式；

（2）政府至少还需投入多少万元资金才能启动此工程建设,此时新建桥墩有多少个?

19．（本小题满分16分）

等差数列{an}中a3=7,a1+a2+a3=12，记为{an}的前n项和,令bn=anan+1,数列的前n项和为Tn.

（1）求an和Sn；

（2）求证：

Tn<

；

（3）是否存在正整数m,n，且1<

m<

n，使得T1,Tm,Tn成等比数列？

若存在，求出m,n的值，若不存在，说明理由.

20．（本小题满分16分）

已知函数

（1）当a=4,,求函数f（x）的最大值；

（2）若x≥a,试求f（x）+3＞0　的解集；

（3）当时，f（x）≤2x–2恒成立，求实数a的取值范围.

连云港外国语学校2009—2010学年度高三阶段性测试

数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．；

2．；

3．；

4．；

5．；

6．；

7．；

8．；

9．；

10．；

11．；

12．；

13．；

14．；

15.（本题满分14分）

16.（本题满分14分）

17.（本题满分14分

18.（本题满分16分）

19.（本题满分16分）

20.（本题满分16分）

高三数学参考答案及评分标准

一、填空题：

1.2．3．a＝－2．4.5．6．

7．8．9．10．11．12．013．414．

二、解答题：

15．证明：

（1）·

=（1＋tanx）sin（x－）＋（1－tanx）sin（x＋）-------------3分

==0

∴⊥--------------6分

（2）||=sin2（x+）＋sin2（x－）=1-----------------8分

∵⊥，||2=||2＋||2=3＋2tan2x--------11分

∵x∈[－，]，0≤tan2x≤1，∴≤||≤------------14分

16．解：

（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，

∠BAC＝60°

，∴BC＝，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°

，

∴CD＝2，AD＝4．

∴SABCD＝

．………………3分

则V＝．………………4分

（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，

∴AF⊥PC．………………6分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E为PD中点，F为PC中点，

∴EF∥CD．则EF⊥PC．………8分

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．……9分

（Ⅲ）证法一：

取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．

∵EM平面PAB，PA平面PAB，

∴EM∥平面PAB．………11分

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°

，AC＝AM＝2，

∴∠ACM＝60°

．而∠BAC＝60°

，∴MC∥AB．

∵MC平面PAB，AB平面PAB，

∴MC∥平面PAB．………13分

∵EM∩MC＝M，

∴平面EMC∥平面PAB．

∵EC平面EMC，

∴EC∥平面PAB．………14分

证法二：

延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．

∵∠NAC＝∠DAC＝60°

，AC⊥CD，

∴C为ND的中点．……11分

∵E为PD中点，∴EC∥PN．……13分

∵EC平面PAB，PN平面PAB，

17．解:

（Ⅰ）设圆心,则,解得…………………3分

则圆的方程为,将点的坐标代入得,

故圆的方程为…………（5分）

（Ⅱ）设,则,且…………7分

==,

所以的最小值为（可由线性规划或三角代换求得）…………10分

（Ⅲ）由题意知,直线和直线的斜率存在,且互为相反数,

故可设,

由,

得……………11分

因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得…………13分

同理,,所以

=

所以,直线和一定平行………………………………………………15分

18．解

（1）设需要新建个桥墩，（n+1）x=1280,即……………………2分

所以………………………5分

=（0<

x<

1280）………………………6分

（2）由

（1）知，=……………………8分

令，得，所以=16………………………9分

当0<

<

16时<

0，在区间（0，16）内为减函数;

………………10分

当16<

1280时，>

0.在区间（16，1280）内为增函数，………………11分

所以在=16处取得最小值f（16）=10208万元……………………12分

此时，n=…………………14分

故政府至少还需投入10208万元资金此时新建桥墩有79个.……………………15分

19.解

（1）设数列的公差为，由,.

解得，=3………………………2分

∴;

………………………3分

Sn=………………………4分

（2）

∴………………………6分

∴=………………………8分

………………………9分

（3）由

（2）知，∴，

∵成等比数列.

∴

即………………………11分

当m=1时，7，=1，不合题意；

当m=2时，，=16，符合题意；

当m=3时，，无正整数解；

当m=4时，，无正整数解；

当m=5时，，无正整数解；

当m=6时，，无正整数解；

……………………14分（少讨论一个扣0.5分）

当m≥7时，,

则，而，

所以，此时不存在正整数m,n,且7<

n,使得成等比数列.……………………15分

综上，存在正整数m=2,n=16,且1<

n,使得成等比数列.…………………16分

20.解:

（1）当时，，

①时，，

当时，………………………………………2分

②当时，，

当时，

综上所述，当时，……………………4分

（2）若，，………………………………………………6分

当时，，或，因为，所以；

当，所以；

当时，，或，①若，则；

②若，则

综上可知：

当时，所求不等式的解集为；

…………………………………10分

当时，所求不等式的解集为……………………………………………12分

（3）方法1：

当时，

即…………………………14分

因为在上增，最大值是，

在上增，最小值是，故只需．……………………………16分

方法2：

若，原不等式可化为，

即在上恒成立，……………………………13分

若，原不等式可化为：

所以在上恒成立，所以．……………………………15分

综上可知的取值范围是…………………………………………………16分