11命题 教案高中数学北师大版选修21Word格式.docx

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●教学建议

1．教学中应多举出一些学生熟悉的数学中的例子或生活中的实例．

2．教师可以通过总结引例、例1、例2中的判断结果，引导学生归纳总结出四种命题的相互关系，以及互为逆否命题的两命题之间的等价关系图．

3．在高中常用逻辑用语部分，一般只要求学生讨论“若p，则q”形式的命题，或者可以改写成“若p，则q”的形式的命题，而超出这一形式的命题，在这里不做讨论．

●教学流程

创设问题情境，引出问题命题的概念⇑命题的结构⇓命题的分类四种命题四种命题之间的关系⇒反馈矫正⇒归纳总结

课标解读

1.了解命题的概念，会判断命题的真假．（重点）

2．掌握四种命题的结构形式，会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题．（重点）

3．能用四种命题之间的相互关系判断四种命题的真假．（难点）

命题及其形式

【问题导思】　

下列能判断真假的语句序号是？

①π是无理数吗？

②x＞1.

③∈N.

④若a⊥b，则a·

b≤0.

【提示】　③④能判断真假．

（1）定义：

可以判断真假、用文字或符号表述的语句．

（2）分类

（3）形式：

通常表示为“若p，则q”的形式，其中p是条件，q是结论．

四种命题及其相互关系

1．下面有四个命题．

①若x＞1，则x＞0.

②若x＞0，则x＞1.

③若x≤1，则x≤0.

④若x≤0，则x≤1.

它们的条件和结论分别是什么？

【提示】　命题①的条件是x＞1，结论是x＞0.

命题②的条件是x＞0，结论是x＞1.

命题③的条件是x≤1，结论是x≤0.

命题④的条件是x≤0，结论是x≤1.

2．命题②、③、④的条件与结论与命题①的条件与结论有什么关系？

【提示】　命题②的条件与结论分别是命题①的结论与条件．

命题③的条件与结论分别是命题①的条件的否定与结论的否定．

命题④的条件与结论分别是命题①的结论的否定与条件的否定．

1．四种命题

互逆

命题

一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件

互否

一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定

互为逆

否命题

一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定

2.四种命题之间的关系

互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题都是说的两个命题之间的关系．

命题及其真假判断

　判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假．

①若a＞b，则2a＞2B．

②y＝sinx是奇函数吗？

③x2－1＜0（x∈Z）．

④空集是任何集合的子集．

【思路探究】　判断一个语句是否为命题，关键是看能否判断其真假．

【自主解答】　①由指数函数y＝2x的性质知，①是真命题．

②不是命题，不涉及真假．

③不是命题，未给x赋值之前，无法判断真假．

④由空集的性质知，④是真命题．

1．判断一个语句是否为命题，关键看这个语句能否判断真假．

2．判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证；

判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假．

（1）斜率相同的两直线平行．

（2）若x＋y是有理数，则x，y均为有理数．

（3）这是一棵大树．

（4）当x＝1时，x2＋2x－3＝0.

【解析】　

（1）是假命题．

（2）是假命题．当x＝时，y＝－时，x＋y是有理数．

（3）无法判断真假，不是命题．

（4）是真命题．

命题的结构

　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

（1）矩形的对角线相等．

（2）当m＞时，方程mx2－x＋1＝0无实根．

（3）已知x，y∈N＋，当x＋y＝2时，x＝y＝1.

【思路探究】　分清命题的条件和结论，是解决这类问题的关键．

【自主解答】　

（1）若一个四边形是矩形，则它的对角线相等；

是真命题．

（2）若m＞，则方程mx2－x＋1＝0无实根；

（3）已知x，y∈N＋，若x＋y＝2，则x＝y＝1；

改写命题时，需要注意的事项：

①分清命题中的条件和结论；

②要注意叙述的完整性，比如第

（1）题；

③当命题有大前提时，不能把大前提写在条件中，应写在前面，仍然作为命题的大前提，比如第（3）题．

指出下列命题的条件和结论．

（1）若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2B．

（2）当x＝1时，x2＝1.

（3）两个奇数的和是偶数．

【解】　

（1）条件：

a，b，c成等差数列，结论：

a＋c＝2B．

（2）条件：

x＝1，结论：

x2＝1.

（3）条件：

两个数都是奇数，结论：

它们的和是偶数．

四种命题及其真假判断

　写出命题“若不等式x2＋px＋q＞0的解集为R，则p2－4q≤0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

【思路探究】　根据逆命题、否命题、逆否命题的定义去写，要注意：

（1）分清命题的条件和结论；

（2）“＞”的否定是“≤”．

【自主解答】　逆命题：

若p2－4q≤0，则不等式x2＋px＋q＞0的解集为R；

假命题．

否命题：

若不等式x2＋px＋q＞0的解集不是R，则p2－4q＞0；

逆否命题：

若p2－4q＞0，则不等式x2＋px＋q＞0的解集不是R；

真命题．

互为逆否命题的两个命题同真假，因此，在直接判断一个命题的真假困难时，通常转化为判断它的逆否命题的真假．

写出命题“末位数字是0的整数能被5整除”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

【解】　逆命题：

能被5整除的整数的末位数字是0，假命题．

末位数字不是0的整数不能被5整除，假命题．

不能被5整除的整数的末位数字不是0，真命题.

对四种命题的结构认识不清致误

　已知a，b∈R，命题“若a＋b＝2，则a2＋b2≥2”的否命题是（　　）

A．若a＋b≠2，则a2＋b2＜2

B．若a＋b＝2，则a2＋b2＜2

C．若a＋b≠2，则a2＋b2≥2

D．若a2＋b2≥2，则a＋b＝2

【错解】　只否定结论，错选B；

只否定条件，错选C；

误将互否理解成互逆，错选D．

【答案】　D

【错因分析】　对四种命题的结构形式认识不清致误．

【防范措施】　掌握四种命题的结构形式．

原命题：

若p，则q.

逆命题：

若q，则p.

若p的否定，则q的否定．

若q的否定，则p的否定．

【正解】　“a＋b＝2”的否定是“a＋b≠2”，“a2＋b2≥2”的否定是“a2＋b2＜2”，由否命题的定义知，选项A正确．

【答案】　A

1．判断一个语句是否为命题，关键看它能否判断真假．

2．对于四种命题要掌握其结构形式．

3．由于互为逆否命题的两个命题是等价命题，它们同真假，所以当一个命题不易判断真假时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.

1．“红豆生南国，春来发几枝？

愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是（　　）

A．红豆生南国　B．春来发几枝

C．愿君多采撷D．此物最相思

【解析】　只有A选项能判断真假．

2．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是（　　）

A．若b∉M，则a∈MB．若a∉M，则b∈M

C．若b∈M，则a∉MD．若a∈M，则b∈M

【解析】　由原命题与其逆否命题等价知：

选项C正确．

【答案】　C

3．命题：

“菱形的对角线互相垂直”的条件是__________，结论是____________．

【解析】　该命题可写成：

若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．所以，命题的条件是一个四边形是菱形，命题的结论是它的对角线互相垂直．

【答案】　一个四边形是菱形　它的对角线互相垂直

4．命题：

若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根．写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．

若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，假命题．

若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．

若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，真命题.

一、选择题

1．下列语句不是命题的是（　　）

A．3是15的约数B．3小于2

C．0不是自然数D．正数大于负数吗？

【解析】　选项D是疑问句，没有对正数与负数的大小关系作出判断，故选D．

2．若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是（　　）

A．命题p是真命题

B．命题p的否命题是假命题

C．命题p的逆否命题是假命题

D．命题p的否命题是真命题

【解析】　一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，故它们同真假，故选B．

【答案】　B

3．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是（　　）

A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1

B．若－1＜x＜1，则x2＜1

C．若x＞1或x＜－1，则x2＞1

D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1

【解析】　此命题的逆否命题为：

若x≥1或x≤－1，则x2≥1.

4．假设坐标平面上一非空集合S内的点（x，y），具有以下性质：

“若x＞0，则y＞0”，试问下列哪个叙述对S内的点（x，y）必定成立（　　）

A．若x≤0，则y≤0B．若y≤0，则x≤0

C．若y＞0，则x＞0D．若y＞0，则x≤0

【解析】　若x＞0，则y＞0⇔若y≤0，则x≤0，故选B．

5．有下列四个命题，其中真命题是（　　）

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的否命题；

③“面积相等的三角形全等”的否命题；

④“若x≠＋2kπ（k∈Z），则tanx≠1”的逆否命题．

A．①②B．②③

C．①③D．③④

【解析】　①逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；

②否命题为“若a＋b＜2，则a，b都小于1”，假命题；

③否命题为“面积不相等的三角形不全等”，真命题；

④逆否命题为“若tanx＝1，则x＝＋2kπ（k∈Z）”，假命题．

二、填空题

6．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的________命题．

【解析】　根据四种命题的关系，易知s是t的否命题．

【答案】　否

7．在命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为________．

【解析】　当a＝1，b＝－时，a2＜b2，故原命题为假，所以它的逆否命题为假；

当a＝－2，b＝1时，a＜b，故原命题的逆命题为假，所以原命题的否命题为假，故假命题的个数为3.

【答案】　3

8．命题“负数的平方是正数”的否命题是________．