最新北师大版高中数学必修四模块综合测评及答案解析docxWord格式.docx

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A．B．－

C．D．－

【解析】　法一：

因为α为第四象限的角，故cosα＝＝＝，所以tanα＝＝＝－.

法二：

因为α是第四象限角，且sinα＝－，所以可在α的终边上取一点P（12，－5），则tanα＝＝－.故选D.

4．已知sinα－cosα＝，α∈（0，π），则tanα＝（　　）

A．－1B．－

C．D．1

【解析】　将等式sinα－cosα＝两边平方，

得到2sinαcosα＝－1，整理得1＋2sinαcosα＝0，即

sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝0，

得（sinα＋cosα）2＝0，

所以sinα＋cosα＝0.

又sinα－cosα＝，

故tanα＝＝－1.

【答案】　A

5．已知a＝（1，sin2x），b＝（2，sin2x），若|a·

b|＝|a|·

|b|，求tanx的值（　　）

【导学号：

66470078】

A．1B．－1

C．D．

【解析】　由|a·

b|＝|a||b|，得a∥b，

∴sin2x＝2sin2x，

即2sinxcosx＝2sin2x，

∴cosx＝sinx，

∴tanx＝1.

6．设A是第三象限角，且＝－sin，则是（　　）

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

【解析】　∵A为第三象限角，

∴2kπ＋π<

A<

2kπ＋π，k∈Z，

∴kπ＋<

kπ＋π，k∈Z，

∴为第二象限角或第四象限角．

又＝－sin，

∴sin<

0，故为第四象限角．

7．在△ABC中，＝a，＝b，且＝，则＝（　　）

A．a－bB．a＋b

C．a－bD．a＋b

【解析】　因为＝，

所以－＝（－），

即＝＋，

亦即＝＋＝a＋b.

【答案】　B

8．已知ω>

0,0<

φ<

π，直线x＝和x＝是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）图像的两条相邻的对称轴，则φ＝（　　）

A．B．

【解析】　由题意可知函数f（x）的周期T＝2×

＝2π，故ω＝1，

所以f（x）＝sin（x＋φ），

令x＋φ＝kπ＋，将x＝代入可得φ＝kπ＋，

因为0<

π，所以φ＝.

9．设O，A，B，M为平面上四点，＝λ＋（1－λ），λ∈（0,1），则（　　）

A．点M在线段AB上

B．点B在线段AM上

C．点A在线段BM上

D．O，A，B，M四点共线

【解析】　因为＝λ＋（1－λ），

所以－＝λ（－），

即＝λ.

又0<

λ<

1，

所以点M在线段AB上．

10．已知A，B，C是△ABC的三个内角，设f（B）＝4sinB·

cos2＋cos2B，若f（B）－m<

2恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．m<

1B．m>

－3

C．m<

3D．m>

1

【解析】　f（B）＝4sinB·

cos2＋cos2B

＝4sinB·

＋cos2B

＝2sinB（1＋sinB）＋（1－2sin2B）

＝2sinB＋1.

∵f（B）－m<

2恒成立，即m>

2sinB－1恒成立．

∵0<

B<

π，∴0<

sinB≤1，

∴－1<

2sinB－1≤1，故m>

1.

11．在△ABC中（＋）·

＝0，则△ABC一定是（　　）

A．等边三角形　B．等腰三角形

C．等腰直角三角形D．直角三角形

【解析】　由已知得：

（＋）·

（－）＝0，∴－＝0，∴||＝||，即AC＝AB，△ABC为等腰三角形．

12．在平面上，1⊥2，||＝|2|＝1，＝1＋2.若||<

，则||的取值范围是（　　）

【解析】　∵⊥，∴·

＝（－）·

（－）＝·

－·

＋2＝0，

∴·

＝－.

∵＝＋

∴－＝－＋－，

∴＝＋－.

∵||＝||＝1，

∴＝1＋1＋＋2（·

）

＝2＋＋2（－）＝2－.

∵||<

，∴0≤||2<

，

∴0≤2－<

∴<

≤2，即||∈.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上）

13．y＝Asin（ωx＋φ）的图像的一段如图1所示，它的解析式是．

图1

【解析】　由图像可知A＝，

T＝2×

＝π，

∴ω＝＝＝2，

∴y＝sin（2x＋φ），代入点，

得sin＝1，∴φ＝π，

∴y＝sin.

【答案】　y＝sin

14．设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是.

66470079】

【解析】　∵sin2α＝－sinα，∴2sinαcosα＝－sinα.

∵α∈，sinα≠0，∴cosα＝－.

又∵α∈，∴α＝π，

∴tan2α＝tanπ＝tan＝tan＝.

【答案】　

15．设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝.

【解析】　y＝sinx－2cosx＝，

设＝cosα，＝sinα，

则y＝（sinxcosα－cosxsinα）＝sin（x－α）．

∵x∈R∴x－α∈R，∴ymax＝.

又∵x＝θ时，f（x）取得最大值，

∴f（θ）＝sinθ－2cosθ＝.

又sin2θ＋cos2θ＝1，

∴即cosθ＝－.

【答案】　－

16．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°

，如图2，点C在以O为圆心的圆弧上变动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是．

图2

【解析】　建立如图所示的坐标系，则A（1,0），B（cos120°

，sin120°

），即B.

设∠AOC＝α，则＝（cosα，sinα）．

∵＝x＋y＝（x,0）＋＝（cosα，sinα），

∴∴

∴x＋y＝sinα＋cosα＝2sin（α＋30°

）．

∵0°

≤α≤120°

∴30°

≤α＋30°

≤150°

.

∴当α＝60°

时，x＋y有最大值2.

【答案】　2

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝2cosωx（ω＞0），且函数y＝f（x）的图像的两相邻对称轴间的距离为.

（1）求f的值；

（2）将函数y＝f（x）的图像向右平移个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图像，求g（x）的单调递减区间．

【解】　

（1）∵f（x）的周期T＝π，

故＝π，∴ω＝2.

∴f（x）＝2cos2x，∴f＝2cos＝.

（2）将y＝f（x）的图像向右平移个单位后，得到y＝f的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，

得到y＝f的图像，

所以g（x）＝f

＝2cos＝2cos.

当2kπ≤－≤2kπ＋π（k∈Z），

即4kπ＋≤x≤4kπ＋（k∈Z）时，g（x）单调递减，

因此g（x）的单调递减区间为（k∈Z）．

18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（1,2），B（－3,4）．

（1）求向量的坐标及||；

（2）求向量与的夹角的余弦值．

【解】　

（1）因为A（1,2），B（－3,4），所以＝－＝

（－3,4）－（1,2）＝（－4,2），

所以||＝＝2.

（2）设与的夹角为θ.

因为·

＝5，||＝，||＝5，

所以cosθ＝＝＝.

19．（本小题满分12分）已知向量a＝（3sinα，cosα），b＝（2sinα，5sinα－4cosα），α∈，且a⊥b.

（1）求tanα的值；

（2）求cos的值.

69992043】

【解】　

（1）∵a⊥b，∴a·

b＝0.

而a＝（3sinα，cosα），b＝（2sinα，5sinα－4cosα），

故a·

b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0.

由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0，

解得tanα＝－或tanα＝.

∵α∈，tanα<

0，

∴tanα＝－.

（2）∵α∈，∴∈.

由tanα＝－，求得tan＝－或tan＝2（舍去）．

由

∴sin＝，cos＝－，

cos＝coscos－sinsin＝－×

－×

20．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图像如图3所示．

图3

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数g（x）＝f－f的单调递增区间．

【解】　

（1）由题设图像知，周期T＝2＝π，

所以ω＝＝2.

因为点在函数图像上，

所以Asin＝0，

即sin＝0.

又因为0<

所以<

＋φ<

从而＋φ＝π，即φ＝.

又点（0,1）在函数图像上，所以Asin＝1，解得A＝2.

故函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin.

（2）g（x）＝2sin

－2sin

＝2sin2x－2sin

＝2sin2x－2

＝sin2x－cos2x

＝2sin.

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以函数g（x）的单调递增区间是，k∈Z.

21．（本小题满分12分）如图4，矩形ABCD的长AD＝2，宽AB＝1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限，求OB2的最大值．

图4

【解】　过点B作BH⊥OA，垂足为H.

设∠OAD＝θ，则∠BAH＝－θ，OA＝2cosθ，BH＝sin＝cosθ，

AH＝cos＝sinθ，

所以B（2cosθ＋sinθ，cosθ），

OB2＝（2cosθ＋sinθ）2＋cos2θ

＝7＋6cos2θ＋2sin2θ＝7＋4sin.

由0<

θ<

，知<

2θ＋<

所以当θ＝时，OB2取得最大值7＋4.

22．已知f（x）＝x＋（1－x）.

（1）求证：

1≤f（x）≤；

（2）确定f（x）的单调区间．

【解】　令x＝sin2θ，θ∈，则f（x）＝sinθ＋cosθ＝sin

（1）证明：

①由θ∈知，θ＋∈，得sin∈，故值域为[1，]，即1≤f（x）≤.

（2）由正弦函数的单调性可知，当θ＋∈，即x∈时，f（x）单调递增；

当θ＋∈，即x∈时，f（x）单调递减．