届一轮复习人教B版文 第2章 第5节 二次函数与幂函数学案Word下载.docx

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增

（－∞，0）减，（0，＋∞）增

（－∞，0）和

（0，＋∞）减

公共点

（1,1）

2．二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

一般式：

f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）；

顶点式：

f（x）＝a（x－h）2＋k（a≠0）；

两根式：

f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）．

（2）二次函数的图象与性质

解析式

f（x）＝ax2＋bx＋c（a>

0）

f（x）＝ax2＋bx＋c（a<

（－∞，＋∞）

在上单调递增；

在上单调递减　　

当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数

顶点

对称性

图象关于直线x＝－成轴对称图形

1．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）函数y＝2x是幂函数．（　　）

（2）当n>

0时，幂函数y＝xn在（0，＋∞）上是增函数．（　　）

（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函数．（　　）

（4）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈[a，b]）的最值一定是.（　　）

（5）在y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．（　　）

答案：

（1）×

（2）√　（3）×

　（4）×

　（5）√

2．幂函数y＝f（x）的图象过点（4,2），则幂函数y＝f（x）的图象是（　　）

解析：

选C　令f（x）＝xα，则4α＝2，∴α＝，∴f（x）＝x，则f（x）的图象如选项C中所示．

3．函数f（x）＝（m2－m－1）xm是幂函数，且在x∈（0，＋∞）上为增函数，则实数m的值是（　　）

A．－1B．2　　　　　C．3　　　　　D．－1或2

选B　∵f（x）＝（m2－m－1）xm是幂函数，

∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.

又f（x）在x∈（0，＋∞）上是增函数，所以m＝2.

4．已知函数f（x）＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是（　　）

A.B.C.D.

选C　由题意知即解得a>

.

5．已知函数f（x）＝x2＋2ax＋3，若y＝f（x）在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________．

由于函数f（x）的图象开口向上，对称轴是x＝－a，

所以要使f（x）在[－4,6]上是单调函数，

应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.

（－∞，－6]∪[4，＋∞）

6．已知f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1，2a]，则y＝f（x）的值域为________．

因为f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，所以其定义域[a－1,2a]关于原点对称，所以a－1＝－2a，所以a＝，因为f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，即f（－x）＝f（x），所以b＝0，所以f（x）＝x2＋1，x∈，其值域为.

[考什么·

怎么考]

高考中对幂函数的概念、图象及性质的考查难度不大，一般以选择题、填空题的形式呈现，其中幂函数的图象、利用幂函数性质求参数范围，结合指数、对数比较大小等问题较常见．

1．已知幂函数f（x）的图象经过点（9,3），则f

（2）－f

（1）＝（　　）

A．3　　　　　　　　　　　B．1－

C.－1D．1

选C　设幂函数f（x）＝xα，则f（9）＝9α＝3，即α＝，所以f（x）＝x＝，所以f

（2）－f

（1）＝－1，故选C.

2．当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2＋m－1）x－5m－3为减函数，则实数m的值为（　　）

A．－2B．1

C．1或－2D．m≠

选B　因为函数y＝（m2＋m－1）x－5m－3既是幂函数又是（0，＋∞）上的减函数，所以解得m＝1.

3．已知a＝3，b＝4，c＝12，则a，b，c的大小关系为（　　）

A．b<

a<

cB．a<

b<

c

C．c<

aD．c<

b

选C　因为a＝81，b＝16，c＝12，由幂函数y＝x在（0，＋∞）上为增函数，知a>

b>

c，故选C.

4．若（a＋1）<

（3－2a），则实数a的取值范围是________．

易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞），在定义域内为增函数，所以

解得－1≤a<

[怎样快解·

准解]

1．幂函数的图象与性质

幂函数y＝xα的图象和性质因α的取值不同而不同，一般可从三方面考察：

（1）α的正负：

α>

0时图象经过（0,0）点和（1,1）点，在第一象限的部分“上升”；

α<

0时图象不过（0,0）点，经过（1,1）点，在第一象限的部分“下降”；

（2）曲线在第一象限的凹凸性：

1时曲线下凹，0<

1时曲线上凸，α<

0时曲线下凹；

（3）函数的奇偶性：

一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性．

2．比较幂值大小的常见类型及解决方法

同底不同指

利用指数函数单调性进行比较

同指不同底

利用幂函数单调性进行比较

既不同底

又不同指

常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小

高考单独考查求二次函数的解析式较少，大多同其性质一同考查，多结合图象求解，难度中等.

[典题领悟]

已知二次函数f（x）满足f

（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．

解：

法一：

（利用二次函数的一般式）

设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．

由题意得解得

故所求二次函数为f（x）＝－4x2＋4x＋7.

法二：

（利用二次函数的顶点式）

设f（x）＝a（x－m）2＋n.

∵f

（2）＝f（－1），∴抛物线对称轴为x＝＝.

∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，

∴y＝f（x）＝a2＋8.

∵f

（2）＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，

∴f（x）＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.

法三：

（利用两根式）

由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，

故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1），

即f（x）＝ax2－ax－2a－1.

又函数有最大值ymax＝8，即＝8.

解得a＝－4或a＝0（舍去），

故所求函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.

[解题师说]

　求二次函数解析式的方法

[冲关演练]

已知二次函数f（x）的图象经过点（4,3），它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x），求f（x）的解析式．

∵f（2－x）＝f（2＋x）对x∈R恒成立，

∴f（x）的对称轴为x＝2.

又∵f（x）的图象被x轴截得的线段长为2，

∴f（x）＝0的两根为1和3.

设f（x）的解析式为f（x）＝a（x－1）（x－3）（a≠0）．

又∵f（x）的图象过点（4,3），

∴3a＝3，a＝1.

∴所求f（x）的解析式为f（x）＝（x－1）（x－3），

即f（x）＝x2－4x＋3.

高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与性质的应用.,常见的命题角度有：

（1）二次函数图象的识别；

（2）二次函数的单调性问题；

（3）二次函数的最值问题；

（4）与二次函数有关的恒成立问题.

[题点全练]

角度

（一）　二次函数图象的识别

1．（2018·

重庆五中模拟）一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是（　　）

选C　若a>

0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；

若a<

0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；

对于选项B，看直线可知a>

0，b>

0，从而－<

0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.

[题型技法]　识别二次函数图象应学会“三看”

角度

（二）　二次函数的单调性问题

2．若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为（　　）

A．[2，＋∞）　　　　　　B．（2，＋∞）

C．（－∞，0）D．（－∞，2）

选A　二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝，当k>

0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2.

当k<

0时，<

0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞）．

[题型技法]　研究二次函数单调性的思路

（1）二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．

（2）若已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a>

0）在区间A上单调递减（单调递增），则A⊆A⊆－，＋∞，即区间A一定在函数对称轴的左侧（右侧）．

角度（三）　二次函数的最值问题

3．（2017·

浙江高考）若函数f（x）＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m（　　）

A．与a有关，且与b有关　B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关

选B　f（x）＝2－＋b，

①当0≤－≤1时，f（x）min＝m＝f＝－＋b，f（x）max＝M＝max{f（0），f

（1）}＝max{b,1＋a＋b}，

∴M－m＝max与a有关，与b无关；

②当－<

0时，f（x）在[0,1]上单调递增，

∴M－m＝f

（1）－f（0）＝1＋a与a有关，与b无关；

③当－>

1时，f（x）在[0,1]上单调递减，

∴M－m＝f（0）－f

（1）＝－1－a与a有关，与b无关．

综上所述，M－m与a有关，但与b无关．

[题型技法]　求二次函数在给定区间上最值的方法

二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（不妨设a>

0）在区间[m，n]上的最大或最小值如下：

（1）当－∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时：

f（x）的最小值在对称轴处取得，其最小值是f＝；

若－≤，f（x）的最大值为f（n）；

若－≥，f（x）的最大值为f（m）．

（2）当－∉[m，n]，即给定的区间在对称轴的一侧时：

f（x）在[m，n]上是单调函数．若－<

m，f（x）在[m，n]上是增函数，f（x）的最小值是f（m），最大值是f（n）；

若n<

－，f（x）在[m，n]上是减函数，f（x）的最小值是f（n），最大值是f（m）．

（3）当不能确定对称轴－是否属于区间[m，n]时：

则需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述

（1）

（2）两种情形求最值．

角度（四）　与二次函数有关的恒成立问题

4．（2018·

武邑调研）已知定义在R上的奇函数f（x）满足：

当x≥0时，f（x）＝x3，若不等式

❶❷

f（－4t）＞f（2m＋mt2）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－∞，－）B．（－，0）

C．（－∞，0）∪（，