第八章广义积分Word文件下载.docx

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③因为,,

所以,原式

广义积分收敛;

④,则

.

所以该无穷发散.

⑤.

⑥由于,所以该无穷积分分散.

3.讨论下列暇积分是否收敛?

④;

⑤.

解①被积函数在上连续，从而在任何上可积，为其瑕点，依定义2求得而

当时，该遐积分收敛至；

当时，该瑕积分发散.

②是暇点,

故暇积分发散.

③被积函数在上连续,为其瑕点，依定义2得,

则

，瑕积分收敛.

④被积函数在上连续，从而在任何上可积，为其瑕点，依定义2得因此该瑕积分收敛至-1.

⑤被积分函数在连续,其瑕点，因

，

因此，该瑕积分发散.

4.举例说明:

暇积分收敛时,不一定收敛.

解因为,故收敛,但

故暇积分收敛时,不一定收敛.

5.“设对任意的,在上可积,并且极限存在,则广义积分收敛”这一结论是否正确?

如果正确,请予以证明,如果不正确,请举例说明.

答不正确,.例如在区间上可积,且

但发散.

6.如果无穷积分收敛,则在上有界.

证因为收敛,由定义知,极限存在,用函数极限存在的局部有界性定理和闭区间上连续函数的有界性定理易证在上有界.

7.举例说明:

收敛且在上连续时,不一定有.

解例由本章第2节例10的结论可知收敛,在上连续,但不存在.

8.证明:

若收敛且存在极限,则.

证用反证法若,不失一般性,设,并设,由极限定义,则对任意的,,当时,就有,又由,由极限的保号性,存在,当时,就有,记,则对任意的,上述两个不等式同时成立.取,则

但另一方面,又有

此为矛盾,所以,必有.

9.证明:

若在上可导,且与都收敛,则.

证设,由本节的习题8知,.

思考与练习8-2

1.设与是定义在上的函数,对任何,它们在上都可积.证明:

若与收敛,则与都收敛.

证对一切实数，恒有从而有

由推论得关于的二次三项式的判别式为负，即

收敛收敛

由无穷积分性质1得

收敛.

2.设是定义在上的三个连续函数,且成立不等式.证明:

①若与都收敛,则也收敛;

②又若,则.

（注:

该题的结论相当于函数极限的迫敛原则）

证由已知有,对于任给由积分性

（1）若及收敛，即及存在。

由夹逼定理有也存在，即收敛

（2）又若则由夹逼定理有.

3.讨论下列无穷积分的收敛性:

①;

⑤;

⑥;

⑦.

解①,由定理8.2的推论3,知收敛;

②由定理8.2的推论3,知收敛;

③由于,故积分仅当时收敛.

④而，由定理8.2的推论3

收敛.再由定理8.2，推知收敛;

⑤当1时，由定理8.2的推论3发散；

当时

由定理8.2的推论3收敛;

⑥.因为积分显然发散.又因为对于任意的,,且当时,单调地趋于零,故积分收敛,于是,积分发散.

⑦因为,而收敛,故也收敛.

4.讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛:

③;

④.

解①由定理8.2的推论3,知发散。

在[1，+∞]上有界

在[1，+∞]上当时单调趋于0,有狄利克判别法收敛.

由条件收敛的定义,知条件收敛;

②由定理8.2的推论3,知

收敛。

由定理11.2，收敛

绝对收敛;

③由定理11.2的推论3，

发散。

在[0，

+∞]上有界在[0，+∞]上当时单调趋于0，由狄利克雷判别法

收敛.综上，条件收敛

④由定理8.2的推论3，知发散,

在[e,+∞），有界。

在[e,+∞]上当时单调趋于0，由狄利克雷判别法，

收敛,综上，条件收敛。

5.设函数在上有定义.对任意的,在上可积且为正常数,则无穷积分当时收敛.（该题结论是狄利克雷判别法的特殊情况）

证令,对任意的,有

由于,所以,又,且无穷积分收敛,由比较原理得,无穷积分收敛,即

存在,所以

即无穷积分收敛.

6.举例说明:

收敛时,不一定收敛;

绝对收敛时,也不一定收敛.

解

（1）由本节的例10知,收敛.但

而发散,收敛,故发散;

（2）定义:

一般地,,则有

一般地,我们有

所以,因为,所以绝对收敛.

然而,

一般地,,所以

故发散.

7.证明:

若绝对收敛,且,则收敛.

证由于,所以,存在,使当时,有,因而

因为绝对收敛,所以收敛,因而,由比较判别法知,收敛.又可及,故由定积分的性质知,也可积,从而

若是上的单调函数,且收敛,则且

证

（1）若,则在上必单调递减,且,因为如果在上单调增,则,此与条件矛盾.

若存在,使得,则

也与条件矛盾.

因而,由收敛,由定理8.1知,对任意的,存在,只要时,就有,所以

因为,由迫敛原理知,.

又由于当取时,,所以,.由的任意性知,即.

（2）若,与

（1）同理可证,在上必单调递增,且,

因而,因收敛,由定理8.1知,对任意的,存在,只要时,就有,所以

又由于当取时,.由的任意性知

即.

（3）如果,且存在,使得,则在上同上讨论可得结论成立.如果,则结论显然成立.

若在上一致连续,且收敛,则.

证用反证法如,则存在,对任何正数,总存在,使

由于在上一致连续,对,,对任意的,只要,就有,

又因为收敛,所以,对,只要,就有

取,存在,使得.

（1）若,对任意的,有,所以,

但这时,矛盾;

若,对任意的,有,即所以,

所以,必有.

10.利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法.

证若已知收敛,在上单调有界,则由于收敛,记,因为,且连续,按极限的局部有界性和闭区间上连续函数的有界性,推得在上有界.

又因为在上单调有界,按单调有界定理,存在,使得

或.

即函数在上,当单调趋于零,由狄利克雷判别法知

收敛,而由收敛,所以收敛,即,阿贝尔判别法成立.

思考与练习8-3

1.写出性质3的证明.

证若在的任一内闭区间上可积,则当收敛时,由于

收敛,由柯西收敛准则的必要性可得:

对于任意的,只要,总有

不妨设,则因

由柯西收敛准则推得,暇积分收敛.且对任意的,由于

所以

即,所以,性质3成立.

2.写出定理8.6及其推论1的证明.

（1）定理8.6:

设定义在上的两个函数与,暇点同为,在任何上都可积,且满足,

则当收敛时,也收敛（或者,当发散时,亦必发散）.

证因为收敛,由柯西收敛准则,对的,存在,只要

总有,所以,我们有.由柯西收敛准则,得暇积分收敛.

反之,若发散,而收敛,则由上述证明可得必收敛,此为矛盾,所以,结论成立.

（2）推论1:

若,且,则

①当,且收敛,因为,对,对任意,有.由收敛,可得收敛收敛收敛.

反之,若收敛,则因,所以由收敛

收敛收敛.

所以与同敛散.

②当且收敛时,对给定的,对任意,有.由收敛,可得收敛收敛收敛.

③当,而发散,这时如果收敛,对给定的,对任意,有.由收敛,可得收敛收敛收敛,矛盾.所以可知必然发散.

3.讨论下列暇积分的收敛性

⑦;

⑧.

解①,其中是暇点,由比较判别法则的推论2,,所以,两个暇积分均发散,故发散;

②是暇点,而,由比较判别法的推论3,收敛;

③当时,.由于,所以积分发散,从而积分也发散;

④是暇点,而,由比较判别法的推论3,收敛;

⑤由于,所以;

⑥是暇点,而,即,这时,暇积分收敛;

即,暇积分发散;

原积分补充定义后是定积分,收敛.

⑦和皆为暇点,,

而时,

所以当时,原暇积分发散.

又,故积分仅当时收敛.综上讨论可知,当时,收敛,当时,发散.

⑧,所以是暇积分的暇点,而,所以暇积分收敛.

对无穷积分,因为

所以无穷积分收敛.

综上讨论知,反常积分收敛.

4.计算下列暇积分的值（其中为正整数）:

③.

解①记

因为,推得

②令,

③令,则,问题与②相同.

5.证明暇积分收敛,且.（提示:

利用

并将它们相加.）

证是暇点,因为

对最后一积分补充被积函数在处的值为1,即为定积分,所以暇积分收敛,另一方面,若令,则

再令,将后一积分变成

6.利用上题的结果,证明:

②.

证若令,则,

②若令,则

7.判断下列广义积分的敛散性:

②.

解,

（ⅰ）因为,所以绝对收敛;

（ⅱ）由例9可知,绝对收敛.综上讨论可知,原积分绝对收敛.

②,显然可知,两个积分都是绝对收敛的,故原积分绝对收敛.

qP425（11）8*设收敛,且（其中为常数）.证明.

证

qP426（14）9*证明:

③；

④（提示:

作变换.）