复变函数与积分变换精彩试题及问题详解Word文件下载.docx

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A.B.C.D.

7.（），（）。

B.；

D.

.

二、填空题（每小题3分，共18分）

1.[1]；

2.幂级数收敛于[2]；

3.设为复函数的可去奇点，则在该点处的留数为[3].；

4.通过分式线性映射（k为待定复常数）可将[4]映射成单位圆内部；

5.一个一般形式的分式线性映射可由、、三种特殊形式的映射复合而成，分别将平面看成z平面的平移映射、旋转与伸缩映射、[5]；

6.求积分[6]；

三、判断题（每小题2分，共10分）

1.平面点集D称为一个区域，如果D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来，这样的集合称为连通集。

（）

2.在区域D内解析的充要条件是：

与在D内可微，且满足C-R方程。

（）

3.将平面上一个点集映射到平面上一个点集，的参数方程是：

，的参数方程是：

，则函数与导数满足伸缩率不变性、旋转角不变性和保角性。

4.拉氏变换的微分性质为：

若，则。

5.傅里叶级数表示一个周期为T的信号可以分解为简谐波之和，这些简谐波的（角）频率分别为一个基频的倍数。

四、计算题（前四题，每小题9分，第五题，15分，共51分）

1.当分别等于多少时，函数在复平面上处处解析?

2.计算。

3.将函数在指定圆环内处展开为洛朗级数：

，.

4.利用留数定理计算积分

5.求微分方程组的解

1.A2.B3.B4.A5.A6.D7.A

1.；

或

2.；

3.0；

4.上半平面；

5.反演映射6.1

1.×

2.√3.√4.√5.√

1.解：

（3分）

（3分）

（3分）

2.解：

（5分）

（或判断出-i在圆内，不在圆内，得2分）

（4分）

（5分）

（或：

写出洛朗级数公式2分）

（4分）

4.解：

由于函数在积分区域内有可去奇点z=0与单极点z=1（4分）

由留数定理，原积分（2分）

5.解：

（4分）

整理得

解得（4分）

再取拉氏变换得到其解为：

第二套

1.的指数式为（）。

A、B、C、D、

2.复函数（）。

A在复平面上处处解析；

B在复平面上处处不解析；

C除去原点外处处解析；

D除去原点及负半实轴外处处解析.

3.由柯西积分公式得，积分的值为（）。

A.0B.1C.2D.无解

4.洛朗级数的正幂部分叫（）。

A、主要部分B、解析部分C、无限部分D、都不对

5.在点z=0处的留数为（）。

A.-1B.0C.1D.2

6.保角映射具有的性质有（）。

A.反演性、保圆性、保对称性B.共形性、保角性、保对称性

C.共形性、保圆性、保对称性D.反演性、保角性、保对称性

D..

1.=[1]。

2.幂级数收敛半径为：

[2]。

3.孤立奇点可分为可去奇点、极点和[3]三种。

4.通过分式线性映射，（，为实数）可将[4]映射成单位圆内部。

5.在扩充复平面上两点与是关于圆周C的对称点的充要条件是通过与的任何圆周与[5]。

6.按定义，函数的傅里叶变换式为[6]。

1.如果平面点集G中的每一点都是它的内点，则称G为开集。

2.的所有分支可表示为。

3.设函数在的邻域内有定义，且在具有保角性和伸缩率不变性，则称在时共形的。

4.傅里叶级数中的物理意义：

表示周期信号在一个周期内的平均值，也叫做交流分量。

5.拉氏变换的微分性质为：

1.设为解析函数，试确定l,m,n的值

2.计算积分，；

3.将下列各级数在指定圆环域内展开为洛朗级数，；

4.利用留数定理求积分（圆周均取正向）

5.求微分方程式的解

（c为常数）

1.C2.D3.A4.B5.C6.C7.C.

1.2.03.本性奇点4.单位圆内部5.正交6.

1.√2.×

3.√4.×

5.√

由题意知：

实部、虚部

，，，（2分）

由于为解析函数，故有（2分）即（3分）解得m=1，n=-3，l=-3（2分）

由z-3=0，得奇点为z=3（3分）此时不在C的环域内，由柯西基本定理（3分）知（3分）

3.解：

（3分）

函数在的外部，除点外没有其他奇点，因此根据定理二与规则四有：

（3分）（3分）

方程两边取拉氏变换，得（2分）

解出（3分）

（2分）

因此，原方程的解

（5分）

第三套

一、填空题（每空2分，共20分）

1．复数的实部为[1]，虚部为[2]及其共轭复数为[3].

2．已知是解析函数，其中，则[4].

3．设C为正向圆周,则=[5].

4．幂级数的收敛半径为[6].

5．是的奇点，其类型为[7].

6．设，则

[8].

7．函数的傅里叶变换为[9].

8．函数的拉普拉斯逆变换为[10].

二、选择题（每小题2分，共20分）

1．复数的辐角为（）

A．B．-

C．D．

2．方程所表示的平面曲线为（）

A．圆B．直线

C．椭圆D．双曲线

3．在复平面上，下列关于正弦函数的命题中，错误的是（）

A．是周期函数B．是解析函数

C．D．

4．设C为正向圆周，则=（）

A．B．

C．D．1

5．在拉氏变换中，函数与的卷积，为（）

A．B．

C．D．

6．幂级数的收敛区域为（）

A．B．

C．D．

7．设的罗朗级数展开式为，则它的收敛圆环域为（）

A．或B．或

8．是函数的（）

A．一阶极点B．可去奇点

C．一阶零点D．本性奇点

9．（）

A．B．-1

10．的傅里叶变换为（）

A．1B．C．D．

三、计算题（每小题8分，共24分）

1．已知，求，，。

2．计算积分，取正向。

3．求函数在孤立奇点处的留数。

四、综合题（共36分）

1．设，问在何处可导？

何处解析？

并在可导处求出导数值。

（8分）

2．将函数分别在与圆环域内展开为罗伦级数。

（10分）

3．求余弦函数的傅里叶变换。

4．用Laplace变换求解常微分方程。

1、填空题

1．,,；

2．；

3．0；

4．1；

5．可去奇点；

6．-1；

7．1；

8．

二、选择题

BDCBD，BABCC

3、计算题（每题5分，共20分）

1、解：

（1）因为不在曲线C：

内

所以根据柯西定理得：

（2分）

（2）已知在曲线C：

内，由柯西积分公式得：

（3）由高阶导数公式得：

2、解：

设在曲线C内除之外处处解析，（2分）

又因为是的一阶极点，根据留数定理得：

，，（4分）

（2分）

3、解：

由得：

和都是的孤立奇点，并且是一阶极点，（2分）

（3分）（3分）

四、综合题

1．解：

（4分）

均连续，要满足条件，必须要

成立

即仅当和时才成立，所以函数处处不解析；

（2分）2解：

（5分）

（5分）3．解：

（8分）

4．解：

在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得

即故

黄山学院学年度第学期

《工程数学》（本科）期末试卷（时间120分钟）

试卷编号:

院（系）班姓名学号得分

一、填空题（每空1分，共20分）

1．复数的实部为[1]，虚部为[2]及其共轭复数为

[3].

3．设C为正向圆周,则[5].

4．设，则幂级数的收敛半径为__[6]__.

1．复数的三角表示式为（）

A．B．

C．D．

2．在下列复数中，使得成立的是（）

A．B．

C．D．

3．设，解析函数的虚部为，则的实部可取为（　）

C．D．

4．设为从到的直线段，则（　）

A．B．C．D．

5．复数列的极限为（　）

A．-1B．0