相似三角形的判定方法Word文件下载.docx

相似三角形的判定方法Word文件下载.docx

《相似三角形的判定方法Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《相似三角形的判定方法Word文件下载.docx（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；

（双A型）

②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的断定定理．它不单自己有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个断定定理的基础，故把它称为“预备定理”；

③有了预备定理后，在解题时不单要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．

（二）相似三角形的断定

1、相似三角形的断定：

断定定理1：

如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那末这两个三角形相似.可简单说成：

两角对应相等，两三角形相似.

例1、已知：

如图，∠1=∠2=∠3，求证：

△ABC∽△ADE．

例2、如图，E、F分别是△ABC的边BC上的点，DE∥AB,DF∥AC,

求证：

△ABC∽△DEF.

断定定理2：

如果三角形的两组对应边的比相等，而且相应的夹角相等，那末这两个三角形相似.

简单说成：

双方对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

例1、△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那末△ACD与△ABC相似吗？

说说你的来由．

例2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形.

（1）当AC、CD、DB知足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？

（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数.

断定定理3：

如果三角形的三组对应边的比相等，那末这两个三角形相似.

三边对应成比例，两三角形相似．

强调：

①有平行线时，用预备定理；

②已有一对对应角相等（包含隐含的公共角或对顶角）时，可思索操纵断定定理1或断定定理2；

③已有双方对应成比例时，可思索操纵断定定理2或断定定理3．但是，在选择操纵断定定理2时，一对对应角相等必须是成比例双方的夹角对应相等．

2、直角三角形相似的断定：

斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．

如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：

△ADQ∽△QCP．

例2、如图,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60cm,CD=40cm,BD=140cm,当P点在BD上由B点向D点运动时,PB的长知足什么条件,可使图中的两个三角形相似?

请说明来由.

例3、如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，则图中相似三角形的对数有对.

例4、已知：

AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°

，

EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N.

（1）△AME∽△NMD

（2）ND2=NC·

NB

①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在断定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用断定定理1，或两条直角边对应成比例，用断定定理2，一般不必断定定理3断定两个直角三角形相似；

②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛．（直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似）

③如图，可简单记为：

在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD．

④补偿射影定理.

特殊情况：

第一：

顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似.

第二：

腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似.

第三：

有一个锐角相等的两个直角三角形相似.

第四：

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.

第五：

如果一个三角形的双方和其中一边上的中线与另外一个三角形的双方和其中一边上的中线对应成比例，那末这两个三角形相似.

三角形相似的断定方法与全等的断定方法的接洽列表如下：

类型

斜三角形

直角三角形

全等三角形的断定

SAS

SSS

AAS（ASA）

HL

相似三角形

的断定

双方对应成比例夹角相等

三边对应成比例

两角对应相等

一条直角边与斜边对应成比例

二、重点难点疑点突破

1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧

　　正确寻找相似三角形的对应元素是分析与处理相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：

（1）相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最分明的对应角；

相似三角形中最大的角（或最小的角）一定是对应角；

相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；

（2）相似三角形中，一对最长的边（或最短的边）一定是对应边；

对应边所对的角是对应角；

对应边所夹的角是对应角．

（3）对应字母要写在对应的位置上，可直接得出对应边，对应角.

2、罕见的相似三角形的基本图形：

学习三角形相似的断定，要与三角形全等的断定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；

对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；

对相似三角形的断定思路要善于总结，形成一整套完整的断定方法．如：

（1）“平行线型”相似三角形，基本图形见前图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；

（2）“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另外一对等角或夹等角的双方成比例”是解这类题的基本思路；

　　（3）“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D（或∠C=∠E），则△ADE∽△ABC，该图可当作把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的．

　　从基本图形入手能较顺利地找到处理问题的思路和方法，能帮忙我们尽快地找到添加的辅助线．以上“平行线型”是罕见的，这类相似三角形的对应元素有较分明的顺序，“相交线型”识图较坚苦，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形．

操练：

1、如图，下列每一个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母暗示出来，并简要说明识此外根据.

2、如图27-2-1-12,在大小为4×

4的正方形方格中,△ABC的顶点A,B,C在单位正方形的顶点上,请在图中画一个△A1B1C1,使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1）,且点A1,B1,C1都在单位正方形的顶点上.

图27-2-1-12

1、寻找相似三角形的个数

例1、（吉林）将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子，假设图形中所有点、线都在同一平面内，回答下列问题：

（1）图中共有多少个三角形？

把它们一一写出来；

（2）图中有相似（不包含全等）三角形吗？

如果有，就把它们一一写出来．

如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，毗连并延长DE交BC的延长线于点F，毗连DC、BE，若∠BDE＋∠BCE＝180°

.⑴写出图中3对相似三角形（注意：

不得添加字母和线）⑵请在你所找出的相似三角形中选取1对，说明它们相似的来由.

1、如图，在正方形网格上有6个三角形：

①，②，③，④，⑤，⑥，其中②-⑥中与①相似的是.

2、画符合要求的相似三角形

例1、（上海）在大小为4×

4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画出一个△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．

3、相似三角形的断定

例1、

（1）如图，O是△ABC内任一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，求证：

△DEF∽△ABC；

（2）如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，DF=3CF，写出图中所有相似三角形，并证明．

例2、如图，在△ABC中，DF颠末△ABC的重心G，且DF∥AB，DE∥AC，毗连EF，如果BC=5，AC=AB.求证:

△DEF∽△ABC

4、直角三角形中相似的断定

例1、如图，△ABC中，∠BAC=90°

，AD⊥BC于D，DE为AC的中线，延长线交AB的延长于F，求证：

AB·

AF=AC·

DF.

例2、已知：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F.求证：

EB·

DF=AE·

DB

5、相似三角形的综合运用

例1、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F．

　　求证：

（1）△ADF∽△EDB；

（2）CD2=DE·

DF．

例2、如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．　　求证：

．

例3、如图，在正方形ABCD中，M、N分别是AB、BC上的点，BM=BN，BP⊥MC于点P．

PN⊥PD．

6、相似三角形中辅助线的添加

（1）、作垂线

3.如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：

.

（2）、作延长线

例1、如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：

FG=CFBF

（3）、作中线

例1、如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC.

1、中，，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：

2、.来由？

3.（2009年湖北武汉）如图1，在中，，于点，点是边上一点，毗连交于，交边于点．

（1）求证：

；

（2）当为边中点，时，如图2，求的值；

（3）当为边中点，时，请直接写出的值．