初中二年级数学第一单元全等三角形证明基本思路Word格式文档下载.docx
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两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）斜边、直角边定理（HL）：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
2．证题的思路：
全等三角形的应用：
运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．
一、已知一边与其一邻角对应相等
1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等．
例1已知：
如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.
求证：
AF=DE．
证明∵BE=CF（已知），∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE．
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE（SAS）．
∴AF=DE（全等三角形对应边相等）．
2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等．
例2已知：
如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB．
AE=CE．
证明∵FC∥AB（已知），
∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）．
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE（ASA）.
∴AE=CE（全等三角形对应边相等）
3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等．
例3（同例2）.
证明∵FC∥AB（已知），
∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.
∴△ADE≌△CFE（AAS）.
∴AE=CE（全等三角形对应边相等）．
二、已知两边对应相等
1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等．
例4已知：
如图3，AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE，∠1=∠2．求证：
△ABD≌△ACE
证明∵∠1=∠2（已知），
∠ADB=180°
-∠1，
∠AEC=180°
-∠2（邻补角定义），
∴∠ADB=∠AEC，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
2．证第三边对应相等，再用SSS证全等．
例5已知：
如图4，点A、C、B、D在同一直线上，AC=BD，AM=CN，BM=DN．求证：
AM∥CN，BM∥DN．
证明∵AC=BD（已知）
∴AC+BC=BD+BC，即AB=CD.
在△ABM和△CDN中，
∴△ABM≌△CDN（SSS）
∴∠A=∠NCD，∠ABM=∠D（全等三角应角相等），
∴AM∥CN，BM∥DN（同位角相等，两直线平行）．
三、已知两角对应相等
1．证两已知角的夹边对应相等，再用ASA证全等．
例6已知：
如图5，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE.
AB=DE，AC=DF.
证明∵FB=CE（已知）
∴FB+FC=CE+FC，即BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
∴AB=DE，AC=DF（全等三角形对应边相等）
2．证一已知角的对边对应相等，再用AAS证全等．
例7已知：
如图6，AB、CD交于点O，
E、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF.求证：
△ACE≌△BDF.
证明∵OA=OB，OE=OF已知），
∴OA-OE=OB-OF，即AE=BF，
在△ACE和△BDF中，
∴△ACE≌△BDF（AAS）.
四、已知一边与其对角对应相等，则可证另一角对应相等，再利用AAS证全等
例8已知：
如图7，在△ABC中，B、D、E、C在一条直线上，AD=AE，∠B=∠C．求证：
△ABD≌△ACE.
证明∵AD=AE（已知）
∴∠1=∠2（等边对等角），
∵∠ADB=∠180°
∴∠ADB=∠AEC，
∴△ABD≌△ACE（AAS）.
全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法
△ABC中,AD是BC边中线
方式1:
直接倍长
（图1）：
延长AD到E，使DE=AD，连接BE
方式2：
间接倍长
1）（图2）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E,连接BE
2）（图3）延长MD到N，使DN=MD，连接CD
【经典例题】
1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，
则中线AD的取值范围是_________.
（提示：
画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边）
例2：
已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，
E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF.
BD=CE
方法1：
过D作DG∥AE交BC于G，证明ΔDGF≌ΔCEF
方法2：
过E作EG∥AB交BC的延长线于G，证明ΔEFG≌ΔDFB
方法3：
过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC的延长线于H，证明ΔBDG≌ΔECH）
例3、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
变式：
如图，AD为的中线，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F.求证：
在DA上截取DG=BD，连结EG、FG，证明ΔBDE≌ΔGDE
ΔDCF≌ΔDGF所以BE=EG、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边
倍长ED至H，连结CH、FH，证明FH=EF、CH=BE，利用三角形两边之和大于第三边）
例4：
已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：
AF=EF
倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA三角形BEG是等腰三角形。
倍长ED.试一试，怎么证明？
）
例5、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，
AD平分∠BAE.
倍长AE至M,连接DM）
变式一：
已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，
∠C=∠BAE
提示：
倍长AE至F，连结DF,证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）,进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS）
变式二：
2AE＝AC。
借鉴变式一的方法）
例6：
已知：
如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.
AE平分
倍长AE至G，连结DG
倍长FE至H，连结CH
练习
1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF
之间的数量关系，并证明你的结论
延长AE、DF交于G,证明AB=GC、AF=GF，所以AB=AF+FC
2、已知：
如图，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：
CT=BE.
过T作TN⊥AB于N，证明ΔBTN≌ΔECD
3、在△ABC中，AD平分∠BAC，CM⊥AD于M，
若AB＝AD，求证：
2AM＝AC＋AB。
4、△ABC中，AD是边BC上的中线，DA⊥AC于点A，∠BAC=120°
，
求证：
AB=2BC.
5、如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，
点M为BC的中点，求证：
DE=2AM
全等三角形问题中常见的辅助线——截长补短法
例1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，
CD⊥AC
例2、如图，AD∥BC，AE,BE分别平分∠DAB,∠CBA，
CD过点E，求证;
AB＝AD+BC
例3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。
BQ+AQ=AB+BP
例4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，
BD平分，求证：
例5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，
P为AD上任意一点，求证;
AB-AC＞PB-PC
例6、已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，
并加以证明．
例7、如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点（点除外），作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?
变式练习：
如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系？
例8、如图所示．已知正方形ABCD中，
M为CD的中点，E为MC上一点，
且∠BAE=2∠DAM．求证：
AE=BC+CE．
例9、已知：
如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.
BE+DF=AE.
例10、如图所示，是边长为2的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．
变式练习
如图所示，是边长为4的正三角形，是顶角
为的等腰三角形，以为顶点作一个的，
点、分别在、上，求的周长．
例11、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，
∠ABC+∠AED=180°
，求证：
DA平分∠CDE
例12、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E是AB上一个动点，若∠B=600，AB=BC，且∠DEC=60O,判断AD+AE与BC的关系并证明你的结论。
三角形综合练习题
一、选择题
1.下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（）
A.∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF
Ｂ.∠A=∠D，AB=DE，BC=EF
Ｃ.AB=DE，∠A=∠D=80°
，∠B=60°
，∠F=40°
Ｄ.∠C=∠F=90°
，AB=DE，BC=EF
2.AD是△ABC的角平分线，从D向AB、AC两边作垂线，垂足分别为E、F，那么下列结论中错误的是（）
A.DE=DFB.AE=AFC.BD=CDD.∠ADE=∠ADF
3.如图2，AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB=BC，E为BC的中点，且AE⊥BD于F，若CD=4cm，则AB的长度为（）
A.4cmB.8cmC.9cmD.10cm
4..如图3，已知点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1
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