初中二年级数学第一单元全等三角形证明基本思路Word格式文档下载.docx

1、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（5） 斜边、直角边定理（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等2证题的思路：全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线一、已知一边与其一邻角对应相等1证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等例1 已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C .求证：AF=DE证明 BE=CF（已知），BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE在ABF和DCE中， ABFDCE（SAS） AF=DE（全等三角形对应边相等）2证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA

2、证全等例2 已知：如图2，D是ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FCABAE=CE证明 FCAB（已知），ADE=CFE（两直线平行，内错角相等）在ADE和CFE中， ADECFE（ASA）. AE=CE（全等三角形对应边相等）3证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等例3 （同例2）.证明 FCAB（已知）， A=ECF（两直线平行，内错角相等）. ADECFE（AAS）. AE=CE（全等三角形对应边相等）二、已知两边对应相等1证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等例4 已知：如图3，AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE，1=2求证： ABDACE证明 1=2（已知

3、），ADB=180-1，AEC=180-2（邻补角定义），ADB = AEC，在ABD和ACE中， ABDACE（SAS）.2证第三边对应相等，再用SSS证全等例5 已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线上，AC=BD，AM=CN， BM=DN求证： AMCN，BMDN证明 AC=BD（已知） AC+BC=BD+BC，即 AB=CD.在ABM和CDN中， ABMCDN（SSS） A=NCD，ABM=D（全等三角应角相等）， AMCN，BMDN（同位角相等，两直线平行）三、已知两角对应相等1证两已知角的夹边对应相等，再用ASA证全等例6 已知：如图5，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE

4、，B=E，ACB=DFE. AB=DE， AC=DF.证明 FB=CE（已知） FB+FC=CE+FC， 即 BC=EF， ABCDEF（ASA）. AB=DE，AC=DF（全等三角形对应边相等）2证一已知角的对边对应相等，再用AAS证全等例7 已知：如图6，AB、CD交于点O，E、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，A=B，ACE=BDF. 求证：ACEBDF.证明 OA=OB，OE=OF已知），OA-OE=OB-OF，即 AE=BF，在ACE和BDF中， ACEBDF（AAS）.四、已知一边与其对角对应相等，则可证另一角对应相等，再利用AAS证全等例8 已知：如图7，在ABC中，B、D

5、、E、C在一条直线上，AD=AE，B=C求证：ABDACE.证明AD=AE（已知）1=2（等边对等角）， ADB=180 ADB=AEC，ABDACE（AAS）.全等三角形问题中常见的辅助线倍长中线法ABC中,AD是BC边中线方式1:直接倍长（图1）： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长1）（图2）作CFAD于F，作BEAD的延长线于E, 连接BE 2）（图3）延长MD到N，使DN=MD，连接CD【经典例题】1、已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.（提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边） 例2：已知在ABC中，AB=AC，D

6、在AB上，E在AC的延长线上， DE交BC于F，且DF=EF. BD=CE方法1：过D作DGAE交BC于G，证明DGFCEF方法2：过E作EGAB交BC的延长线于G，证明EFGDFB方法3：过D作DGBC于G，过E作EHBC的延长线于H，证明BDGECH）例3、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.变式：如图，AD为的中线，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F. 求证：在DA上截取DG=BD，连结EG、FG， 证明BDEGDE DCFDGF所以BE=EG、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边倍长ED至H，连结CH、FH，证明FH=EF、

7、CH=BE，利用三角形两边之和大于第三边）例4：已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF倍长AD至G，连接BG，证明BDGCDA三角形BEG是等腰三角形。倍长ED.试一试，怎么证明？）例5、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，AD平分BAE. 倍长AE至M,连接DM）变式一：已知CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中线，C=BAE提示：倍长AE至F，连结DF,证明ABEFDE（SAS）,进而证明ADFADC（SAS）变式二：2AEAC。借鉴变式一的方法） 例6：已知：如图，在中，D、E在BC上，且DE=EC，过

8、D作交AE于点F，DF=AC.AE平分 倍长AE至G，连结DG倍长FE至H，连结CH练习1、在四边形ABCD中，ABDC，E为BC边的中点，BAE=EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论延长AE、DF交于G,证明AB=GC、AF=GF，所以AB=AF+FC2、已知：如图， ABC中， C=90 ，CM AB于M，AT平分 BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE/AB交BC于E，求证：CT=BE.过T作TNAB于N， 证明BTNECD3、在ABC中，AD平分BAC，CMAD于M，若ABAD，求证：2AMACAB。4、ABC中，AD是边BC

9、上的中线，DAAC于点A，BAC=120， 求证：AB=2BC.5、如图，AB=AE，ABAE，AD=AC，ADAC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM全等三角形问题中常见的辅助线截长补短法例1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，CDAC例2、如图，ADBC， AE, BE分别平分DAB,CBA，CD过点E，求证;ABAD+BC例3、如图，已知在内，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。BQ+AQ=AB+BP例4、如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求证：例5、如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-P

10、C例6、已知中，、分别平分和，、交于点，试判断、的数量关系，并加以证明 例7、如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点（点除外），作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?变式练习：如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系？例8、如图所示已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且BAE=2DAM求证：AE=BC+CE例9、已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE. BE+DF=AE.例10、如图所示，是边长为2的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长变式练习如图所示，是边长为4的正三角形，是顶角为

11、的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长例11、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：DA平分CDE例12、如图，在四边形ABCD中，ADBC,点E是AB上一个动点，若B=600，AB=BC，且DEC=60O,判断AD+AE与BC的关系并证明你的结论。三角形综合练习题一、选择题1.下列条件中，不能判定ABCDEF的是（ ）A.A=D，C=F，AC=DF.A=D，AB=DE，BC=EF.AB=DE，A=D = 80，B=60，F=40.C=F = 90，AB=DE，BC=EF2.AD是ABC的角平分线，从D向AB、AC两边作垂线，垂足分别为E、F，那么下列结论中错误的是（ ） A.DE=DF B.AE=AF C.BD=CD D.ADE=ADF3.如图2，ABBC于B，CDBC于C ， AB=BC，E为BC的中点，且AEBD于F，若CD=4cm，则AB的长度为（ ）A.4cm B.8cm C.9cm D.10cm4.如图3，已知点E在ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若1