普通高考数学一轮复习 第12讲 空间中的夹角和距离精品学案Word文档格式.docx

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（2）点到平面的距离

平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；

“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

等体积法。

（3）直线与平面的距离：

一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；

（4）平行平面间的距离：

两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。

求距离的一般方法和步骤：

应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：

①找出或作出表示有关距离的线段；

②证明它符合定义；

③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。

异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a、b所成的角为，它们的公垂线AA′的长度为d，在a上有线段A′E＝m，b上有线段AF＝n，那么EF＝（“±

”符号由实际情况选定）

2．夹角

空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为0°

，90°

、[0°

]和[0°

，180°

]。

（1）两条异面直线所成的角

先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；

通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。

（2）直线和平面所成的角

“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”。

（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的

解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。

通常的作法有：

（Ⅰ）定义法；

（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；

（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos＝，其中S为斜面面积，S′为射影面积，为斜面与射影面所成的二面角。

3．等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

推论：

如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。

四．典例解析

题型1：

直线间的距离问题

例1．已知正方体的棱长为1，求直线DA'

与AC的距离。

解法1：

如图1连结A'

C'

，则AC∥面A'

D'

，

连结DA'

、DC'

、DO'

，过O作OE⊥DO'

于E

因为A'

⊥面BB'

D，所以A'

⊥OE。

又O'

D⊥OE，所以OE⊥面A'

D。

因此OE为直线DA'

在Rt△OO'

D中，，可求得

点评：

此题是异面直线的距离问题：

可作出异面直线的公垂线。

解法2：

如图2连接A'

、B'

C、AB'

A'

，得到分别包含DA'

和AC的两个平面A'

D和平面AB'

C，

又因为A'

∥AC，A'

D∥B'

C，所以面A'

D∥面AB'

C。

故DA'

与AC的距离就是平面A'

C的距离，连BD'

分别交两平面于两点，易证是两平行平面距离。

不难算出，所以，所以异面直线BD与之间的距离为。

若考虑到异面直线的公垂线不易做出，可分别过两异面直线作两平面互相平行，则异面直线的距离就是两平面的距离。

题型2：

线线夹角

例2．如图1，在三棱锥S—ABC中，，，，，求异面直线SC与AB所成角的余弦值。

图1

用公式

当直线平面，AB与所成的角为，l是内的一条直线，l与AB在内的射影所成的角为，则异面直线l与AB所成的角满足。

以此为据求解。

由题意，知平面ABC，，由三垂线定理，知，所以平面SAC。

因为，由勾股定理，得。

在中，，在中，。

设SC与AB所成角为，则，

平移

过点C作CD//BA，过点A作BC的平行线交CD于D，连结SD，则是异面直线SC与AB所成的角，如图2。

又四边形ABCD是平行四边形。

由勾股定理，得：

。

图2

在中，由余弦定理，得：

若不垂直，可经过如下几个步骤求解：

（1）恰当选点，作两条异面直线的平行线，构造平面角；

（2）证明这个角（或其补角）就是异面直线所成角；

（3）解三角形（常用余弦定理），求出所构造角的度数。

题型3：

点线距离

例3．正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图所示）.M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为。

解析：

过M作MO⊥EF，交EF于O，则MO⊥平面BCFE.

如图所示，作ON⊥BC，设OM=x，

又tanMBO=，∴BO=2x

又S△MBE=BE·

MB·

sinMBE=BE·

ME

S△MBC=BC·

sinMBC=BC·

MN

∴ME=MN，而ME=，MN=，解得x=。

该题较典型的反映了解决空间几何问题的解题策略：

化空间问题为平面问题来处理。

题型4：

点面距离

例4．如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2。

（Ⅰ）求证：

AO⊥平面BCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；

（Ⅲ）求点E到平面的距离。

（1）证明：

连结OC。

∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD。

∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD。

在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=。

而AC=2，∴AO2+CO2=AC2,

∴∠AOC=90°

即AO⊥OC。

∴AB平面BCD。

（Ⅱ）解：

取AC的中点M,连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC。

∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。

在△OME中，

是直角△AOC斜边AC上的中线，∴

∴

∴异面直线AB与CD所成角的大小为

（Ⅲ）解：

设点E到平面ACD的距离为h.

∴·

S△ACD=·

AO·

S△CDE.

在△ACD中，CA=CD=2,AD=,

∴S△ACD=

而AO=1,S△CDE=

∴h=

∴点E到平面ACD的距离为。

本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

题型5：

线面距离

例5．斜三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为4cm的正三角形，侧棱AA1与底面两边AB、AC均成600的角，AA1=7。

（1）求证：

AA1⊥BC；

（2）求斜三棱柱ABC—A1B1C1的全面积；

（3）求斜三棱柱ABC—A1B1C1的体积；

（4）求AA1到侧面BB1C1C的距离。

设A1在平面ABC上的射影为0。

∵∠A1AB=∠A1AC，∴O在∠BAC的平行线AM上。

∵△ABC为正三角形，∴AM⊥BC。

又AM为A1A在平面ABC上的射影，∴A1A⊥BC

（2）

∵B1B∥A1A，∴B1B⊥BC，即侧面BB1C1C为矩形。

又，∴S全=

（3）∵cos∠A1AB=cos∠A1AO·

cos∠OAB，∴cos∠A1AO=

∴sin∠A1AO=，∴A1O=A1Asin∠A1AO=

（4）把线A1A到侧面BB1C1C的距离转化为点A或A1到平面BB1C1C的距离

为了找到A1在侧面BB1C1C上的射影，首先要找到侧面BB1C1C的垂面

设平面AA1M交侧面BB1C1C于MM1

∵BC⊥AM，BC⊥A1A

∴BC⊥平面AA1M1M

∴平面AA1M1M⊥侧面BCC1B1

在平行四边形AA1M1M中

过A1作A1H⊥M1M，H为垂足

则A1H⊥侧面BB1C1C

∴线段A1H长度就是A1A到侧面BB1C1C的距离

线面距离往往转化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体积求得，体积法不用得到垂线。

题型6：

线面夹角

例6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC,∠BAD=90°

PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点。

PB⊥DM;

（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值。

（）因为是的中点，，所以。

因为平面，所以，

从而平面.

因为平面，所以.

（）取的中点，连结、，则，

所以与平面所成的角和与平面所成的角相等。

因为平面，所以是与平面所成的角。

在中，。

本题主要考查几何体的概念、线面夹角、两平面垂直等。

能力方面主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

题型7：

面面距离

例7．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：

平面A1BC1∥平面ACD1；

（2）求

（1）中两个平行平面间的距离；

（3）求点B1到平面A1BC1的距离。

由于BC1∥AD1，则BC1∥平面ACD1，

同理，A1B∥平面ACD1，则平面A1BC1∥平面ACD1。

（2）解：

设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离。

易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，则cosA1BC1=，则sinA1BC1=，则S=。

由于，则S·

d=·

BB1，代入求得d=，即两平行平面间的距离为。

（3）解：

由于线段B1D1被平面A1BC1所平分，则B1、D1到平面A1BC1的距离相等，则由

（2）知点B1到平面A1BC1的距离等于。

立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来。

在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面。

这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通