完整版相似三角形性质与判定专项练习30题有答案Word格式.docx
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AB•BC=AC•CD.
6.已知△ABC,∠ACB=90°
,AC=BC,点E、F在AB上,∠ECF=45°
设△ABC的面积为S,说明AF•BE=2S的理由.
7.等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P.
(1)若AE=CF;
①求证:
AF=BE,并求∠APB的度数;
②若AE=2,试求AP•AF的值;
(2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径长.
8.如图所示,AD,BE是钝角△ABC的边BC,AC上的高,求证:
=.
9.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,点F在边AC上,DF与BE相交于点G,且∠EDF=∠ABE.
求证:
(1)△DEF∽△BDE;
(2)DG•DF=DB•EF.
10.如图,△ABC、△DEF都是等边三角形,点D为AB的中点,E在BC上运动,DF和EF分别交AC于G、H两点,BC=2,问E在何处时CH的长度最大?
11.如图,AB和CD交于点O,当∠A=∠C时,求证:
OA•OB=OC•OD.
12.如图,已知等边三角形△AEC,以AC为对角线做正方形ABCD(点B在△AEC内,点D在△AEC外).连接EB,过E作EF⊥AB,交AB的延长线为F.
(1)猜测直线BE和直线AC的位置关系,并证明你的猜想.
(2)证明:
△BEF∽△ABC,并求出相似比.
13.已知:
如图,△ABC中,点D、E是边AB上的点,CD平分∠ECB,且BC2=BD•BA.
△CED∽△ACD;
(2)求证:
14.如图,△ABC中,点D、E分别在BC和AC边上,点G是BE边上一点,且∠BAD=∠BGD=∠C,联结AG.
BD•BC=BG•BE;
∠BGA=∠BAC.
15.已知:
如图,在△ABC中,点D是BC中点,点E是AC中点,且AD⊥BC,BE⊥AC,BE,AD相交于点G,过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F,DF=6.
(1)求AE的长;
(2)求的值.
16.如图,△ABC中,∠ACB=90°
,D是AB上一点,M是CD中点,且∠AMD=∠BMD,AP∥CD交BC延长线于P点,延长BM交PA于N点,且PN=AN.
MN=MA;
∠CDA=2∠ACD.
17.已知:
如图,在△ABC中,已知点D在BC上,联结AD,使得∠CAD=∠B,DC=3且S△ACD:
S△ADB﹦1﹕2.
(1)求AC的值;
(2)若将△ADC沿着直线AD翻折,使点C落点E处,AE交边BC于点F,且AB∥DE,求的值.
18.在△ABC中,D是BC的中点,且AD=AC,DE⊥BC,与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.
△ABC∽△FCD;
(2)若DE=3,BC=8,求△FCD的面积.
19.如图,△ABC为等边三角形,D为BC边上一点,以AD为边作∠ADE=60°
,DE与△ABC的外角平分线CE交于点E.
∠BAD=∠FDE;
(2)设DE与AC相交于点G,连接AE,若AB=6,AE=5时,求线段AG的长.
20.如图所示,△ABC中,∠B=90°
,点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,经几秒,使△PBQ的面积等于8cm2?
(2)如果P,Q分别从A,B同时出发,并且P到B后又继续在BC边上前进,Q到C后又继续在CA边上前进,经过几秒,使△PCQ的面积等于12.6cm2?
21.已知:
如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上的点,将DB绕点D顺时针旋转60°
得到线段DE,延长ED交AC于点F,连接DC、AE.
△ADE≌△DFC;
(2)过点E作EH∥DC交DB于点G,交BC于点H,连接AH.求∠AHE的度数;
(3)若BG=,CH=2,求BC的长.
22.如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,BE∥BC交AC于点E.
AE•BC=AC•CE;
(2)若S△ADE:
S△CDE=4:
3。
5,BC=15,求CE的长.
23.如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°
,E为AB的中点,
AC2=AB•AD;
CE∥AD;
(3)若AD=4,AB=6,求的值.
24.在△ABC中,∠CAB=90°
,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上.
(1)如图1,AC:
AB=1:
2,EF⊥CB,求证:
EF=CD.
(2)如图2,AC:
AB=1:
,EF⊥CE,求EF:
EG的值.
25.如图,M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点,BP与MN、AN分别交于E、F.
BF=2FP;
(2)设△ABC的面积为S,求△NEF的面积.
26.在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,CD⊥AB,垂足为D,E、F分别是AC,BC边上一点,且CE=AC,BF=BC,
;
(2)求∠EDF的度数.
27.如图,△ABC是等边三角形,且AB∥CE.
△ABD∽△CED;
(2)若AB=6,AD=2CD,
①求E到BC的距离EH的长.
②求BE的长.
28.如图,Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的,连接CC′交斜边于点E,CC′的延长线交BB′于点F.
(1)若AC=3,AB=4,求;
(2)证明:
△ACE∽△FBE;
(3)设∠ABC=α,∠CAC′=β,试探索α、β满足什么关系时,△ACE与△FBE是全等三角形,并说明理由.
29.如图,△ABC是等边三角形,∠DAE=120°
,求证:
(1)△ABD∽△ECA;
(2)BC2=DB•CE.
30.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,且AC=CD=,又E,D为CB的三等分点.
(1)证明:
△ADE∽△BDA;
∠ADC=∠AEC+∠B;
(3)若点P为线段AB上一动点,连接PE,则使得线段PE的长度为整数的点P的个数有几个?
请说明理由.
相似三角形性质和判定专项练习30题参考答案:
1.解:
(1)∵∠ADC=∠B+∠BAD,
且∠CDG=∠BAD,
∴∠ADG=∠B;
∵∠BAC=∠DAG,
∴△ABC∽△ADG,
∴=.
(2)∵∠BAC=∠DAG,
∴∠BAD=∠CAG;
又∵∠CDG=∠BAD,
∴∠CDG=∠CAG,
∴A、D、C、G四点共圆,
∴∠DAG+∠DCG=180°
∵GC⊥BC,
∴∠DCG=90°
∴∠DAG=90°
,∠BAC=∠DAG=90°
2.解:
(1)如图,∵∠ACB=90°
,CF⊥AD,
∴∠ACD=∠AFC,而∠CAD=∠FAC,
∴△ACD∽△AFC,
∴,
∴AC2=AF•AD.
(2)如图,∵CE⊥AB,CF⊥AD,
∴∠AEC=∠AFC=90°
,
∴A、E、F、C四点共圆,
∴∠AFE=∠ACE;
而∠ACE+∠CAE=∠CAE+∠B,
∴∠ACE=∠B,∠AFE=∠B;
∵∠FAE=∠BAD,
∴△AEF∽△ADB,
∴AE:
AD=BD:
EF,
∴AE•DB=AD•EF.
3.解:
(1)∵PB=PC,
∴∠B=∠PCB;
∵PC平分∠ACB,
∴∠ACP=∠PCB,∠B=∠ACP,
∵∠A=∠A,
∴△APC∽△ACB.
(2)∵△APC∽△ACB,
∵AP=2,PC=6,AB=8,
∴AC=4.
∵AP+AC=PC=6,
这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾,
∴该题无解.
4.
(1)证明:
∵AD∥BC,
∴∠C+∠ADE=180°
∵∠BFE=∠C,
∴∠AFB=∠EDA,
∵AB∥DC,
∴∠BAE=∠AED,
∴△ABF∽△EAD;
(2)解:
∵AB∥CD,BE⊥CD,
∴∠ABE=90°
∵AB=4,∠BAE=30°
∴AE=2BE,
由勾股定理可求得AE=
5.证明:
∵∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=∠C,
∴BD=CD,
在△ABD和△ACB中,,
∴△ABD∽△ACB,
∴=,
即AB•BC=AC•BD,
∴AB•BC=AC•CD.
6.证明:
∵AC=BC,
∴∠A=∠B,
∵∠ACB=90°
∴∠A=∠B=45°
∵∠ECF=45°
∴∠ECF=∠B=45°
∴∠ECF+∠1=∠B+∠1,
∵∠BCE=∠ECF+∠1,∠2=∠B+∠1;
∴∠BCE=∠2,
∵∠A=∠B,
∴△ACF∽△BEC.
∴AC•BC=BE•AF,
∴S△ABC=AC•BC=BE•AF,
∴AF•BE=2S.
7.
(1)①证明:
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠C=∠CAB=60°
又∵AE=CF,
在△ABE和△CAF中,
∴△ABE≌△CAF(SAS),
∴AF=BE,∠ABE=∠CAF.
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP,
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°
∴∠APB=180°
﹣∠APE=120°
②∵∠C=∠APE=60°
,∠PAE=∠CAF,∴△APE∽△ACF,
∴,即,所以AP•AF=12
(2)若AF=BE,有AE=BF或AE=CF两种情况.
①当AE=CF时,点P的路径是一段弧,由题目不难看出当E为AC的中点的时候,点P经过弧AB的中点,此时△ABP为等腰三角形,且∠ABP=∠BAP=30°
∴∠AOB=120°
又∵AB=6,
∴OA=,
点P的路径是.
②当AE=BF时,点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度;
因为等边三角形ABC的边长为6,所以点P的路径为:
所以,点P经过的路径长为或3.
8.证明:
∵AD,BE是钝角△ABC的边BC,AC上的高,
∴∠D=∠E=90°
∵∠ACD=∠BCE,
∴△ACD∽△BCE,
∴=.
9.证明:
(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵DE∥BC,
∴∠ABC+∠BDE=180°
,∠ACB+∠CED=180°
∴∠BDE=∠CED,
∵∠EDF=∠ABE,
∴△DEF∽△BDE;
(2)由△DEF∽△BDE,得.