届高三数学一轮复习教案+课时作业 第11节 函数与方程函数的应用Word格式.docx
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Δ<
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>
0)的图象
与x轴的交点
(x1,0),
(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
3.常见的几种函数模型
(1)一次函数模型:
y=kx+b(k≠0).
(2)反比例函数模型:
y=(k≠0).
(3)二次函数模型:
y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).
(4)指数函数模型:
y=a·
bx+c(b>
0,b≠1,a≠0).
(5)对数函数模型:
y=mlogax+n(a>
0,a≠1,m≠0).
4.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
性质
y=ax
1)
y=logax
y=xn
(n>
0)
在(0,+∞)
上的增减性
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化
而各有不同
值的比较
存在一个x0,当x>
x0时,有logax<
xn<
ax
[常用结论与微点提醒]
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根.
2.函数零点存在定理是零点存在的一个充分不必要条件.
3.“对勾”函数模型f(x)=x+(a>
0)在区间(-∞,-]和[,+∞)上单调递增,在区间(-,0)和(0,)上单调递减.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×
”)
(1)函数f(x)=lgx的零点是(1,0).( )
(2)图象连续的函数y=f(x)(x∈D)在区间(a,b)⊆D内有零点,则f(a)·
0.( )
(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( )
(4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)<
f(x)<
g(x).( )
解析
(1)f(x)=lgx的零点是1,故
(1)错.
(2)f(a)·
f(b)<0是连续函数y=f(x)在(a,b)内有零点的充分不必要条件,故
(2)错.
(3)二分法求零点必须满足条件:
①在区间(a,b)上图象连续不间断,②f(a)f(b)<
0.因此③错.
答案
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√
2.(必修1P88例1改编)函数f(x)=ex+3x的零点个数是( )
A.0B.1C.2D.3
解析 由f′(x)=ex+3>0,所以f(x)在R上单调递增,又f(-1)=-3<
0,f(0)=1>
0,因此函数f(x)有且只有一个零点.
答案 B
3.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )
A.y=cosxB.y=sinx
C.y=lnxD.y=x2+1
解析 由函数是偶函数,排除选项B,C;
又选项D中函数没有零点,排除D;
y=cosx为偶函数且有零点.
答案 A
4.(2017·
北京卷)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是( )
(参考数据:
lg3≈0.48)
A.1033B.1053C.1073D.1093
解析 M≈3361,N≈1080,≈,
则lg≈lg=lg3361-lg1080=361lg3-80≈93.
∴≈1093.
答案 D
5.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是________.
解析 因为函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上是单调函数,所以若f(x)在区间(-1,1)上存在一个零点,则满足f(-1)f
(1)<0,即(-3a+1)·
(1-a)<
0,解得<
a<
1.
答案
考点一 函数零点的判断与求解(多维探究)
命题角度1 判断函数零点所在的区间
【例1-1】
(1)已知函数f(x)=-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( )
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)
(2)设函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是________.
解析
(1)因为f
(2)=-log22=2>
0,f(4)=-log24=-<
0,所以f(x)零点所在的区间为(2,4).
(2)设f(x)=x3-,则x0是函数f(x)的零点,在同一坐标系下画出函数y=x3与y=的图象如图所示.
因为f
(1)=1-=-1<
0,f
(2)=8-=7>
0,所以f
(1)f
(2)<
0,所以x0∈(1,2).
答案
(1)C
(2)(1,2)
规律方法 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法:
(1)利用函数零点的存在性定理:
首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·
0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法:
通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
命题角度2 确定函数零点个数
【例1-2】
(1)(一题多解)函数f(x)=的零点个数为( )
A.3B.2C.1D.0
(2)(2018·
天津河东一模)函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内的零点的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
解析
(1)法一 由f(x)=0得或
解得x=-2或x=e.
因此函数f(x)共有2个零点.
法二 函数f(x)的图象如图所示,
由图象知函数f(x)共有2个零点.
(2)由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞),在同一直角坐标系中画出函数y1=|x-2|(x>
0),y2=lnx(x>
0)的图象,如图所示.
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
答案
(1)B
(2)C
规律方法 函数零点个数的判断方法:
(1)直接求零点,令f(x)=0,有几个解就有几个零点;
(2)零点存在性定理,要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·
0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数;
(3)利用图象交点个数,作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数.
【训练1】
(1)(2018·
太原一模)函数f(x)=lnx+x--2的零点所在的区间是( )
A.B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3)
(2)函数f(x)=4cos2cos-2sinx-|ln(x+1)|的零点个数为________.
解析
(1)易知f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,且f
(2)=ln2-<
0,f(e)=+e--2>
0.∴f
(2)f(e)<
0,故f(x)的零点在区间(2,e)内.
(2)f(x)=4cos2sinx-2sinx-|ln(x+1)|=2sinx·
-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|,令f(x)=0,得sin2x=|ln(x+1)|.
在同一坐标系中作出两个函数y=sin2x与函数y=|ln(x+1)|的大致图象如图所示.
观察图象可知,两函数图象有2个交点,故函数f(x)有2个零点.
答案
(1)C
(2)2
考点二 函数零点的应用
【例2】
(1)(2018·
贵阳一中检测)已知函数f(x)=(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)B.(-∞,0)
C.(-1,0)D.[-1,0)
(2)(2016·
天津卷)已知函数f(x)=
0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是________.
解析
(1)当x>
0时,f(x)=3x-1有一个零点x=.
因此当x≤0时,f(x)=ex+a=0只有一个实根,
∴a=-ex(x≤0),则-1≤a<
0.
(2)y=x2+(4a-3)x+3a,x<
0,对称轴为x=-=.
∵f(x)为R上的单调递减函数.
∴解得≤a≤.
又∵|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,
令y1=2-,则其与y轴的交点为(0,2),函数|f(x)|的大致图象如图,要使y1=2-与y=|f(x)|的图象有2个交点,需3a<
2,即a<
.∴≤a<
.
答案
(1)D
(2)
规律方法 已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法:
(1)直接法,直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法,先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
(3)数形结合,先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求解.
【训练2】
(1)若函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是________.
(2)(2017·
全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )
A.-B.C.D.1
0时,由f(x)=lnx=0,得x=1.
因为函数f(x)有两个不同的零点,
则当x≤0时,函数f(x)=2x-a有一个零点,
令f(x)=0得a=2x,
因为0<
2x≤20=1,所以0<
a≤1,
所以实数a的取值范围是(0,1].
(2)f(x)=(x-1)2+a(ex-1+e1-x)-1,
令t=x-1,则g(t)=f(t+1)=t2+a(et+e-t)-1.
∵g(-t)=(-t)2+a(e-t+et)-1=g(t),
∴函数g(t)为偶函数.
∵f(x)有唯一零点,∴g(t)也有唯一零点.
又g(t)为偶函数,由偶函数的性质知g(0)=0,
∴2a-1=0,解得a=.
答案
(1)(0,1]
(2)C
考点三 函数的实际应用(易错警示)
【例3】
(1)(2016·
四川卷)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:
lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)( )
A.2018年B.2019年
C.2020年D.2021年
解析 设2015年后的第n年该公司投入的研发资金为y万元,则y=130(1+12%)n.
依题意130(1+12%)