人教版九年级数学下册《第二十八章锐角三角函数》单元测试题含答案Word格式.docx

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图5

A.米B．2米C．2米D．3米

9．如图6，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在南偏西22°

方向上．航行2小时后到达N处，观测灯塔P在南偏西44°

方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（参考数据：

sin68°

≈0.9272，sin46°

≈0.7193，sin22°

≈0.3746，sin44°

≈0.6947）（　　）

图6

A．22.48海里B．41.68海里

C．43.16海里D．55.63海里

10．如图7，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知BC＝10，cos∠BCD＝，∠BCE＝30°

，则线段DE的长是（　　）

图7

A.B．7C．4＋3D．3＋4

请将选择题答案填入下表：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

总分

答案

第Ⅱ卷　（非选择题　共70分）

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．如图8，在△ABC中，∠B＝45°

，cosC＝，AC＝5a，则△ABC的面积用含a的式子表示是________．

图8

12．为解决停车难的问题，在一段长56米的路段上开辟停车位，如图9，每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°

角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位．（参考数据：

≈1.4）

图9

13．如图10，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝4，D为BC的中点，点E，F在线段AD上，tan∠ABC＝3，则阴影部分的面积是________．

图10

14．已知△ABC，若与（tanB－）2互为相反数，则∠C的度数是________．

15．如图11，已知四边形ABCD是正方形，以CD为一边向CD两旁分别作等边三角形PCD和等边三角形QCD，那么tan∠PQB的值为________．

图11

16.如图12，已知点A（5，0），直线y＝x＋b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB.若∠α＝75°

，则b＝________．

图12

三、解答题（共52分）

17．（5分）计算：

cos30°

tan60°

－cos45°

sin45°

－sin260°

.

18．（5分）如图13，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°

，求BC的长及tanC的值．

图13

19.（5分）如图14，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°

，求sinC的值．

图14

20．（5分）如图15，AB是长为10m，倾斜角为37°

的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°

，求大楼CE的高度（结果保留整数）．

（参考数据：

sin37°

≈，tan37°

≈，sin65°

≈，tan65°

≈）

图15

21．（7分）如图16，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.

（1）求tan∠DBC的值；

（2）求证：

四边形OBEC是矩形．

图16

22．（7分）如图17，市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方案是：

水坝加高1米（EF＝1米），背水坡AF的坡度i＝1∶1，已知AB＝3米，∠ABE＝120°

，求水坝原来的高度．

图17

23．（9分）阅读下面的材料：

小凯遇到这样一个问题：

如图18①，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°

，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决（如图②）．请回答：

（1）△ABD的面积为________（用含m的式子表示）；

（2）求四边形ABCD的面积．

参考小凯思考问题的方法，解决问题：

如图③，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝a，BD＝b，∠AOB＝α（0°

＜α＜90°

），则四边形ABCD的面积为________（用含a，b，α的式子表示）．

图18

24．（9分）观察与思考：

阅读下列材料，并解决后面的问题．

在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD⊥BC于点D（如图19①），

则sinB＝，sinC＝，即AD＝csinB，AD＝bsinC，

于是csinB＝bsinC，即＝，

同理有＝，＝，所以＝＝.

即：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．

根据上述材料，完成下列各题：

（1）如图②，△ABC中，∠B＝45°

，∠C＝75°

，BC＝60，则∠A＝________°

，AC＝________；

（2）如图③，在某次巡逻中，渔政船在C处测得海岛A在其北偏西30°

的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°

的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得海岛A在其北偏西75°

的方向上，求此时渔政船距海岛A的距离AB.（结果精确到0.01海里，≈2.449）

图19

详解详析

1．C

2．B　[解析]由题意可得sinA＝＝.因为BC＝4，所以AB＝6.

3．D　[解析]因为cos（90°

－α）＝，α为锐角，所以90°

－α＝60°

，所以α＝30°

，所以cosα＝.

4．C　[解析]∵点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，∴tanα＝＝，∴t＝2.

5．B　[解析]如图，连接AC.由网格图的特点，易得△ACO是等腰直角三角形，所以∠AOB＝45°

，所以cos∠AOB的值为.

6．D　[解析]如图，连接BD.由网格图的特点可知AD⊥BD，由AD＝2，BD＝，可得tanA的值为.

7．A　[解析]在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AB2＝AC2＋BC2＝（）2＋22＝9，∴AB＝3.∵∠B＋∠BCD＝90°

，∠ACD＋∠BCD＝90°

，∴∠B＝∠ACD，∴sin∠ACD＝sinB＝＝.故选A.

8．A　[解析]如图，设中央转轴底端为A，两立柱底端的点为B，C，BC的中点为D，则有AB＝AC＝2米，所以AD⊥BC，且CD＝1米，所以AD＝米．

9．B　[解析]如图，过点P作PA⊥MN于点A，MN＝30×

2＝60（海里）．

∵∠PMN＝22°

，∠PNA＝44°

，

∴∠MPN＝∠PNA－∠PMN＝22°

∴∠PMN＝∠MPN，

∴MN＝PN＝60海里．

∵∠PNA＝44°

∴在Rt△NAP中，PA＝PN·

sin∠PNA≈60×

0.6947≈41.68（海里）．

故选B.

10．D　[解析]如图，过点B作BF⊥DE于点F.

在Rt△CBD中，∵BC＝10，cos∠BCD＝，

∴DC＝6，∴BD＝8.

在Rt△BCE中，BC＝10，∠BCE＝30°

∴BE＝5.

在Rt△BDF中，∠BDF＝∠BCE＝30°

，BD＝8，

∴DF＝BD·

＝4.

在Rt△BEF中，∠BEF＝∠BCD，

即cos∠BEF＝cos∠BCD＝，

∴EF＝BE·

cos∠BEF＝3，

∴DE＝EF＋DF＝3＋4.

11．14a2　12.17

13．6　[解析]由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于△ABC的面积的一半．因为BD＝BC＝2，AD⊥BC，tan∠ABC＝3，所以AD＝6，所以△ABC的面积为12，所以阴影部分的面积为6.

14．90°

　[解析]由题意得sinA＝，tanB＝，所以∠A＝30°

，∠B＝60°

，所以∠C的度数是90°

15．2－　[解析]延长QP交AB于点F.

∵四边形ABCD是正方形，△PCD和△QCD是以CD为边的等边三角形，

∴四边形PCQD是菱形．

设正方形ABCD的边长为a，则可得PE＝QE＝a，DE＝EC＝a，FB＝a，

∴tan∠PQB＝＝＝2－.

16．5　[解析]设直线y＝x＋b（b＞0）与x轴交于点C，易得C（－b，0），B（0，b），

所以OC＝OB，

所以∠BCO＝45°

又因为α＝75°

，所以∠BAO＝30°

因为OA＝5，所以OB＝5，所以b＝5.

17.

18．解：

如图，过点A作AD⊥BC于点D.

在Rt△ABD中，∠B＝45°

∵sinB＝，

∴AD＝AB·

sinB＝4×

＝4×

＝2，

∴BD＝AD＝2.

在Rt△ADC中，AC＝6，

由勾股定理，得DC＝＝＝2，

∴BC＝BD＋DC＝2＋2，

tanC＝＝＝.

19．解：

如图，过点A作AD⊥OB于点D.

∵在Rt△AOD中，∠AOB＝45°

∴OD＝AD＝OA·

cos45°

＝1×

＝，

∴BD＝OB－OD＝1－，

∴AB＝＝＝.

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°

，AC＝2，

∴sinC＝＝.

20．解：

如图，过点B作BF⊥AE于点F，

则BF＝DE.

在Rt△ABF中，sin∠BAF＝，

则BF＝AB·

sin∠BAF≈10×

＝6（m）．

在Rt△CDB中，tan∠CBD＝，则CD＝BD·

tan65°

≈10×

≈21（m）．

则CE＝DE＋CD＝BF＋CD≈6＋21＝27（m）．

答：

大楼CE的高度约是27m.

21．解：

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠ABC＋∠BAD＝180°

又∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，

∴∠ABC＝60°

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠DBC＝∠ABC＝30°

∴tan∠DBC＝tan30°

＝.

（2）证明：

∴∠BOC＝90°

∵BE∥AC，CE∥BD，

∴∠OBE＝∠BOC＝∠OCE＝90°

∴四边形OBEC是矩形．

22．解：

如图所示，过点E作EC⊥BD于点C，

设BC＝x米．

∵∠ABE＝120°

∴∠CBE＝60°

在Rt△BCE中，

∵∠CBE＝60°

∴tan60°

＝＝，即CE＝x米．

∵背水坡AF的坡度i＝1∶1，∴＝1.

∵AC＝（3＋x）米，CF＝（1＋x