概率论与数理统计复习资料Word下载.docx
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7、掌握指数分布(参数)、均匀分布、正态分布,特别是正态分布概率计算
8、会求一维随机变量函数分布的一般方法,求一维随机变量的分布律或概率密度。
9、会求分布中的待定参数。
10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数,会判别随机变量的独立性。
11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。
12、理解二维随机变量的概念,理解二维随机变量的联合分布函数及其性质,理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质,理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质,并会用它们计算有关事件的概率。
13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。
14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。
会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。
15、较熟练地求协方差与相关系数.
16、了解矩与协方差矩阵概念。
会用独立正态随机变量线性组合性质解题。
17、了解大数定理结论,会用中心极限定理解题。
18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念,掌握样本均值与样本方差及样本矩概念,掌握2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。
19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理;
会用矩估计方法来估计未知参数。
20、掌握极大似然估计法,无偏性与有效性的判断方法。
21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。
会求双正态总体均值与方差的置信区间。
23、明确假设检验的基本步骤,会U检验法、t检验、检验法、F检验法解题。
24、掌握正态总体均值与方差的检验法。
概率论部分必须要掌握的内容以及题型
1.古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。
2.概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用;
3.准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。
4.一维、二维离散型随机变量的分布律,连续型随机变量的密度函数性质的运用。
分布中待定参数的确定,分布律、密度函数与分布函数的关系,联合分布与边缘分布、条件分布的关系,求数学期望、方差、协方差、相关系数,求函数的分布律、密度函数及期望和方差。
5.会用中心极限定理解题。
6.熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差,指数分布(参数)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。
数理统计部分必须要掌握的内容以及题型
1.统计量的判断。
2.计算样本均值与样本方差及样本矩。
3.熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。
4.会求未知参数的矩估计、极大似然估计。
5.掌握无偏性与有效性的判断方法。
6.会求正态总体均值与方差的置信区间。
7.理解假设检验的基本思想和原理,明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。
古典概型例子
摸球模型
例1:
袋中有a个白球,b个黑球,从中接连任意取出m(m≤a+b)个球,且每次取出的球不再放回去,求第m次取出的球是白球的概率;
例2:
袋中有a个白球,b个黑球,c个红球,从中任意取出m(m≤a+b)个球,求取出的m个球中有k1(≤a)个白球、k2(≤b)个黑球、k3(≤c)个红球(k1+k2+k3=m)的概率.
占位模型
例:
n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点,每个质点都以概率1/N落入N个格子(N≥n)的任一个之中,求下列事件的概率:
(1)A={指定n个格子中各有一个质点};
(2)B={任意n个格子中各有一个质点};
(3)C={指定的一个格子中恰有m(m≤n)个质点}.
抽数模型
在0~9十个整数中任取四个,能排成一个四位偶数的概率是多少?
如对于事件A,B,或,已知P(A),P(B),P(AB),P(AB),P(A|B),P(B|A)以及换为或之中的几个,求另外几个。
事件A与B相互独立,且P(A)=0.5,P(B)=0.6,求:
P(AB),P(A-B),P(AB)
若P(A)=0.4,P(B)=0.7,P(AB)=0.3,求:
P(A-B),P(AB),,,
若已知导致事件A发生(或者是能与事件A同时发生)的几个互斥的事件Bi,i=1,2,…,n,…的概率P(Bi),以及Bi发生的条件下事件A发生的条件概率P(A|Bi),求事件A发生的概率P(A)以及A发生的条件下事件Bi发生的条件概率P(Bi|A)。
玻璃杯成箱出售,每箱20只。
假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1,某顾客欲购买一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机地察看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回。
试求:
(1)顾客买下该箱的概率;
(2)在顾客买下的该箱中,没有残次品的概率。
(1)已知一维离散型随机变量的分布律P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n,…
确定参数
求概率P(a<
X<
b)
求分布函数F(x)
求期望E(X),方差D(X)
求函数Y=g(X)的分布律及期望E[g(X)]
随机变量的分布律为.
1
2
3
4
k
2k
3k
4k
确定参数k
求概率P(0<
3),
求函数的分布律及期望
(2)已知一维连续型随机变量的密度函数f(x)
确定参数
求函数Y=g(X)的密度函数及期望E[g(X)]
已知随机变量的概率密度为,
求概率
求函数的密度及期望
(3)已知二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律P(X=xi,Y=yj)=pij,i=1,2,…,m,…;
j=1,2,…,n,…
求概率P{(X,Y)G}
求边缘分布律P(X=xi)=pi.,i=1,2,…,m,…;
P(Y=yj)=p.j,j=1,2,…,n,…
求条件分布律P(X=xi|Y=yj),i=1,2,…,m,…和P(Y=yj|X=xi),j=1,2,…,n,…
求期望E(X),E(Y),方差D(X),D(Y)
求协方差cov(X,Y),相关系数,判断是否不相关
求函数Z=g(X,Y)的分布律及期望E[g(X,Y)]
已知随机变量(X,Y)的联合分布律为
Y
X
0.05
0.1
0.15
0.2
0.03
0.07
0.02
0.13
求概率P(X<
Y),P(X=Y)
求边缘分布律P(X=k)k=0,1,2和P(Y=k)k=0,1,2,3
求条件分布律P(X=k|Y=2)k=0,1,2和P(Y=k|X=1)k=0,1,2,3
求Z=X+Y,W=max{X,Y},V=min{X,Y}的分布律
(4)已知二维连续型随机变量的联合密度函数f(x,y)
求边缘密度,,判断是否相互独立
求条件密度,
求函数Z=g(X,Y)的密度函数及期望E[g(X,Y)]
已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为,
确定常数的值;
Y)
每次射击中,命中目标的炮弹数的均值为2,方差为,求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率.
设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒,试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。
对于来自总体X的样本,由样本构成的各种函数是否是统计量。
设总体的概率密度为,是来自总体的一个样本,求未知参数的矩估计量与极大似然估计量.
对于来自总体X的样本,判断估计量是否无偏,比较哪个更有效。
设是来自总体的一个样本,下列统计量是不是总体均值的无偏估计
;
求出方差,比较哪个更有效。
对于正态总体,由样本结合给出条件,导出参数的置信区间。
对于单、双正态总体根据给定条件,确定使用什么检验方法,明确基本步骤。
设,u和未知,(X1,…,Xn)为样本,(x1,…,xn)为样本观察值。
(1)试写出检验u与给定常数u0有无显著差异的步骤;
(2)试写出检验与给定常数比较是否显著偏大的步骤。
古典概型例子摸球模型
分析:
本例的样本点就是从a+b中有次序地取出m个球的不同取法;
第m次取出的球是白球意味着:
第m次是从a个白球中取出一球,再在a+b-1个球中取出m-1个球。
解:
设B={第m次取出的球是白球}
样本空间的样本点总数:
事件B包含的样本点:
,则
注:
本例实质上也是抽签问题,结论说明按上述规则抽签,每人抽中白球的机会相等,同抽签次序无关。
袋中有4个白球,5个黑球,6个红球,从中任意取出9个球,求取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球的概率.
设B={取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球}
=5005
=240,则P(B)=120/1001=0.048
n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点,每个质点都以概率1/N落入