第五专题 矩阵的数值特征行列式范数条件数迹秩相对特征根Word文档格式.docx

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从Schur定理（或Jordan标准形）和（4）证明；

7.,则,且等号成立的充要条件是A=0；

8.,则，且等号成立的充要条件是A=B（）；

9.对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得Ak=0,则tr（A）=0（从Schur定理或Jordan标准形证明）。

若干基本不等式

对于两个m×

n复矩阵A和B，tr（AHB）是m×

n维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz不等式

[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]

得

定理：

对任意两个m×

n复矩阵A和B

|tr（AHB）|2≤tr（AHA）﹒tr（BHB）

这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。

特别当A和B为实对称阵或Hermit矩阵时

0≤|tr（AB）|≤

设A和B为两个n阶Hermite阵,且A≥0，B≥0，则

0≤tr（AB）≤λ1（B）tr（A）≤tr（A）﹒tr（B）

λ1（B）表示B的最大特征值。

证明：

tr（AB）=tr（A1/2BA1/2）≥0，又因为

A1/2[λ1（B）I-B]A1/2≥0，所以λ1（B）tr（A）≥A1/2BA1/2，得

tr（AB）=tr（A1/2BA1/2）≤tr（λ1（B）A）

=λ1（B）tr（A）≤tr（A）﹒tr（B）

推论：

设A为Hermite矩阵，且A>

0，则

tr（A）tr（A-1）≥n

另外，关于矩阵的迹的不等式还有很多，请参考《矩阵论中不等式》。

三、矩阵的秩

矩阵的秩的概念是由Sylvester于1861年引进的。

它是矩阵的最重要的数字特征之一。

下面讨论有关矩阵秩的一些性质和不等式。

矩阵A的秩定义为它的行（或列）向量的最大无关组所包含的向量的个数。

记为rank（A）

1.；

4.，其中X列满秩，Y行满秩（消去法则）。

定理（Sylvester）：

设A和B分别为m×

n和n×

l矩阵，则

Sylveste定理是关于两个矩阵乘积的秩的不等式。

其等号成立的充要条件请参考王松桂编写的《矩阵论中不等式》，三个矩阵乘积的秩的不等式也一并参考上述文献。

四、相对特征根

设A和B均为P阶实对称阵，B>

0，方程

|A-λB|=0的根称为A相对于B的特征根。

|A-λB|=0等价于|B-1/2AB-1/2-λI|=0

（因为B>

0，所以B1/2>

0）

注：

求A相对于B的特征根问题转化为求B-1/2AB-1/2的特征根问题或AB-1的特征根。

因B-1/2AB-1/2是实对称阵，所以特征根为实数。

使（A-λiB）li=0的非零向量li称为对应于λi的A相对于B的特征向量。

1设l是相对于λ的AB-1的特征向量，则

AB-1l=λl或A（B-1l）=λB（B-1l）

B-1l为对应λ的A相对于B的特征向量

（转化为求AB-1的特征向量问题）。

2设l是相对于λ的B-1/2AB-1/2的特征向量，则

B-1/2AB-1/2l=λl

可得

A（B-1/2l）=λB（B-1/2l）

则B-1/2l为对应λ的A相对于B的特征向量

（转化为求B-1/2AB-1/2对称阵的特征向量问题）。

五、向量范数与矩阵范数

向量与矩阵的范数是描述向量和矩阵“大小”的一种度量。

先讨论向量范数。

1.向量范数定义：

设V为数域F上的线性空间，若对于V的任一向量x，对应一个实值函数，并满足以下三个条件：

（1）非负性，等号当且仅当x=0时成立；

（2）齐次性

（3）三角不等式。

则称为V中向量x的范数，简称为向量范数。

定义了范数的线性空间定义称为赋范线性空间。

例1.，它可表示成，，

就是一种范数，称为欧氏范数或2-范数。

（）非负性，

当且仅当时，即x＝0时，＝0

（）齐次性

（）三角不等式

，

根据Hö

lder不等式：

，

2.常用的向量范数（设向量为）

1-范数：

；

∞-范数：

P-范数：

（p>

1,p=1,2,…,∞,）;

2-范数：

;

椭圆范数（2-范数的推广）:

，A为Hermite正定阵.

加权范数：

，

当，

显然满足非负性和齐次性

（）

，，

应用Hö

lder不等式

即

3.向量范数的等价性

定理设、为的两种向量范数，则必定存在正数m、M，使得，（m、M与x无关），称此为向量范数的等价性。

同时有

（1）对某一向量X而言，如果它的某一种范数小（或大），那么它的其它范数也小（或大）。

（2）不同的向量范数可能大小不同，但在考虑向量序列的收敛性问题时，却表现出明显的一致性。

4、矩阵范数

向量范数的概念推广到矩阵情况。

因为一个m×

n阶矩阵可以看成一个mn维向量，所以中任何一种向量范数都可以认为是m×

n阶矩阵的矩阵范数。

1.矩阵范数定义：

设表示数域C上全体阶矩阵的集合。

若对于中任一矩阵A，均对应一个实值函数，并满足以下四个条件：

（1）非负性：

，等号当且仅当A=0时成立；

（2）齐次性：

（3）三角不等式：

则称为广义矩阵范数；

（4）相容性：

则称为矩阵范数。

5.常用的矩阵范数

（1）Frobenius范数（F-范数）

F-范数：

==

矩阵和向量之间常以乘积的形式出现，因而需要考虑矩阵范数与向量范数的协调性。

如果矩阵范数和向量范数满足

则称这两种范数是相容的。

给一种向量范数后，我们总可以找到一个矩阵范数与之相容。

（2）诱导范数

设A∈Cm×

n，x∈Cn,为x的某种向量范数，

记

则是矩阵A的且与相容的矩阵范数，也称之为A的诱导范数或算子范数。

（3）p-范数：

x为所有可能的向量，，

可以证明下列矩阵范数都是诱导范数：

（1）列（和）范数；

（2）谱范数；

的最大特征值称为的谱半径。

当A是Hermite矩阵时，是A的谱半径。

谱范数有许多良好的性质，因而经常用到。

（3）行（和）范数

（，）

定理矩阵A的任意一种范数是A的元素的连续函数；

矩阵A的任意两种范数是等价的。

定理设A∈Cn×

n，x∈Cn,则和是相容的

即

由于成立。

n，则是酉不变的，即对于任意酉矩阵U,V∈Cn×

n，有

定义设A∈Cn×

n，A的所有不同特征值组成的集合称为A的谱；

特征值的模的最大值称为A的谱半径，记为ρ（A）。

定理ρ（A）不大于A的任何一种诱导范数，即

ρ（A）≤

证明：

设λ是A的任意特征值，x是相应的特征向量，即

Ax=λx

则

|λ|·

||x||=||Ax||≤||A||·

||x||,||x||≠0

|λ|≤||A||

试证：

设A是n阶方阵，||A||是诱导范数，当||A||<

1时，I-A可逆，且有

||（I-A）-1||≤（1-||A||）-1

若I-A不可逆，则齐次线性方程组

（I-A）x=0

有非零解x，即x=Ax，因而有

||x||=||Ax||≤||A||﹒||x||<

||x||

但这是不可能的，故I-A可逆。

于是（I-A）-1=[（I-A）+A]（I-A）-1=I+A（I-A）-1

因此||（I-A）-1||≤||I||+||A（I-A）-1||=1+||A（I-A）-1||

≤1+||A||﹒||（I-A）-1||

即证

||（I-A）-1||≤（1-||A||）-1

补充证明||I||=1：

由相容性可知：

||A||﹒||A-1||≥||AA-1||=||I||

对于诱导范数（）

。

六、条件数

条件数对研究方程的性态起着重要的作用。

设矩阵A是可逆方阵，称||A||﹒||A-1||为矩阵A的条件数，记为cond（A），即

cond（A）=||A||﹒||A-1||

（1）cond（A）≥1,并且A的条件数与所取的诱导范数的类型有关。

因cond（A）=||A||﹒||A-1||≥||AA-1||=||I||=1

（2）cond（kA）=cond（A）=cond（A-1），这里k为任意非零常数。

当选用不用的范数时，就得到不同的条件数，如：

cond1（A）=||A||1﹒||A-1||1

cond∞（A）=||A||∞﹒||A-1||∞

cond2（A）=||A||2﹒||A-1||2=，其中分别为AHA的特征值的模的最大值和最小值。

谱条件数

特别地，如果A为可逆的Hermite矩阵，则有

cond2（A）=

这里分别为A的特征值的模的最大值和最小值。

如果A为酉阵，则cond2（A）=1

例求矩阵A的条件数cond1（A），cond∞（A）

解：

||A||1=max{6;

14;

4}=14;

||A||∞=max{8;

3;

13}=14;

故

||A-1||1=17/4;

||A-1||∞=47/4;

cond1（A）=||A||1﹒||A-1||1=14×

17/4=259/2;

cond∞（A）=||A||∞﹒||A-1||∞=611/4。

例设线性方程组Ax=b的系数矩阵A可逆。

讨论当b有误差δb时，解的相对误差δx的大小。

因矩阵A可逆，所以Ax=b有唯一解x=A-1b，设解的误差为δx，由

A（x+δx）=b+δb

得

Aδx=δb或δx=A-1δb

（1）

又Ax=b，可得

，或

（2）

所以由

（1）和

（2），得

这说明相误差的大小与条件数cond（A）密切相关；

当右端b的相对误差一定时，cond（A）越大，解的相对误差就可能越大；

cond（A）越小，解的相对误差就可能越小。

因而条件数cond（A）可以反映A的特性。

一般来说：

条件数反映了误差放大的程度，条件数越大，矩阵越病态。

条件数在最小二乘估计的稳定性研究中有重要应用。

鉴于矩阵A的条件数范数cond（A）有多种，但最常用的条件数是由谱范数||A||2导出的，称为谱条件数。

在本章中，若无特别声明，讨论的条件数都是谱条件数。

谱条件数：

若A是m×

n阶矩阵，且rank（A）=t≤n，则A的条件数定义为

即最大奇异值与最小非零奇异值的商。

（3）其它性质

对任意酉矩阵Q，cond（QAQH）=cond（A-1）；

（因）