第五专题 矩阵的数值特征行列式范数条件数迹秩相对特征根Word文档格式.docx

1、从Schur定理（或Jordan标准形）和（4）证明；7. ,则,且等号成立的充要条件是A=0；8. ,则，且等号成立的充要条件是A=B（）；9. 对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得Ak=0,则tr（A）=0（从Schur定理或Jordan标准形证明）。若干基本不等式对于两个mn复矩阵A和B，tr（AHB）是mn维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz不等式x,y2x,xy,y 得定理：对任意两个mn复矩阵A和B |tr（AHB）|2tr（AHA）tr（BHB） 这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。特别当A和B为实对称阵或

2、Hermit矩阵时0|tr（AB）|设A和B为两个n阶Hermite阵,且A0，B0，则 0tr（AB）1（B）tr（A） tr（A）tr（B） 1（B）表示B的最大特征值。证明：tr（AB）= tr（A1/2BA1/2） 0，又因为A1/21（B）I-BA1/20，所以1（B）tr（A）A1/2BA1/2，得tr（AB）= tr（A1/2BA1/2）tr（1（B） A）=1（B） tr（A）tr（A）tr（B）推论：设A为Hermite矩阵，且A0，则tr（A）tr（A-1）n另外，关于矩阵的迹的不等式还有很多，请参考矩阵论中不等式。三、矩阵的秩矩阵的秩的概念是由Sylvester于1861

3、年引进的。它是矩阵的最重要的数字特征之一。下面讨论有关矩阵秩的一些性质和不等式。矩阵A的秩定义为它的行（或列）向量的最大无关组所包含的向量的个数。记为rank（A）1. ；4. ，其中X列满秩，Y行满秩（消去法则）。定理（Sylvester）：设A和B分别为mn和nl矩阵，则 Sylveste定理是关于两个矩阵乘积的秩的不等式。其等号成立的充要条件请参考王松桂编写的矩阵论中不等式，三个矩阵乘积的秩的不等式也一并参考上述文献。四、相对特征根设A和B均为P阶实对称阵，B0，方程|A-B|=0的根称为A相对于B的特征根。|A-B|=0等价于|B-1/2AB-1/2-I|=0（因为B0，所以B1/20

4、）注：求A相对于B的特征根问题转化为求B-1/2AB-1/2的特征根问题或AB-1的特征根。因B-1/2AB-1/2是实对称阵，所以特征根为实数。使（A-iB）li=0的非零向量li称为对应于i的A相对于B的特征向量。1 设l是相对于的A B-1的特征向量，则A B-1l=l 或 A （B-1l）=B（ B-1l）B-1l 为对应的A相对于B的特征向量（转化为求A B-1的特征向量问题）。2 设l是相对于的B-1/2AB-1/2的特征向量，则B-1/2AB-1/2l=l 可得A （B-1/2l）=B（B-1/2l）则B-1/2l 为对应的A相对于B的特征向量（转化为求B-1/2AB-1/2对称

5、阵的特征向量问题）。五、向量范数与矩阵范数向量与矩阵的范数是描述向量和矩阵“大小”的一种度量。先讨论向量范数。1. 向量范数定义：设V为数域F上的线性空间，若对于V的任一向量x，对应一个实值函数，并满足以下三个条件： （1）非负性 ，等号当且仅当x=0时成立； （2）齐次性 （3）三角不等式。则称为V中向量x的范数，简称为向量范数。定义了范数的线性空间定义称为赋范线性空间。例1. ，它可表示成， 就是一种范数，称为欧氏范数或2-范数。（）非负性 ，当且仅当时，即x0时，0 （）齐次性 （）三角不等式 ， 根据Hlder不等式：，2. 常用的向量范数（设向量为） 1-范数：； -范数：P-范数：

6、 （p1, p=1, 2,）;2-范数：;椭圆范数（2-范数的推广）:，A为Hermite正定阵.加权范数：， 当，显然满足非负性和齐次性 （），应用Hlder不等式即 3. 向量范数的等价性定理 设、为的两种向量范数，则必定存在正数m、M，使得 ，（m、M与x无关），称此为向量范数的等价性。同时有（1）对某一向量X而言，如果它的某一种范数小（或大），那么它的其它范数也小（或大）。（2）不同的向量范数可能大小不同，但在考虑向量序列的收敛性问题时，却表现出明显的一致性。4、矩阵范数向量范数的概念推广到矩阵情况。因为一个mn阶矩阵可以看成一个mn维向量，所以中任何一种向量范数都可以认为是mn阶矩阵

7、的矩阵范数。1. 矩阵范数定义：设表示数域C上全体阶矩阵的集合。若对于中任一矩阵A，均对应一个实值函数，并满足以下四个条件： （1）非负性： ，等号当且仅当A=0时成立； （2）齐次性： （3）三角不等式：,则称为广义矩阵范数； （4）相容性：,则称为矩阵范数。5. 常用的矩阵范数（1）Frobenius范数（F-范数）F-范数： = =矩阵和向量之间常以乘积的形式出现，因而需要考虑矩阵范数与向量范数的协调性。如果矩阵范数和向量范数满足则称这两种范数是相容的。给一种向量范数后，我们总可以找到一个矩阵范数与之相容。（2）诱导范数设ACmn，xCn, 为x的某种向量范数，记则是矩阵A的且与相容的矩

8、阵范数，也称之为A的诱导范数或算子范数。（3）p-范数：,x为所有可能的向量，可以证明下列矩阵范数都是诱导范数：（1） 列（和）范数；（2） 谱范数；的最大特征值称为的谱半径。当A是Hermite矩阵时，是A的谱半径。谱范数有许多良好的性质，因而经常用到。（3） 行（和）范数（ ，）定理 矩阵A的任意一种范数是A的元素的连续函数；矩阵A的任意两种范数是等价的。定理 设ACnn，xCn, 则和是相容的即由于成立。n，则是酉不变的，即对于任意酉矩阵U,VCnn，有定义 设ACnn，A的所有不同特征值组成的集合称为A的谱；特征值的模的最大值称为A的谱半径，记为（A）。定理 （A）不大于A的任何一种诱

9、导范数，即（A） 证明：设是A的任意特征值，x是相应的特征向量，即 Ax=x则|x|= |Ax|A|x|, |x|0 |A|试证：设A是n阶方阵，|A|是诱导范数，当|A|1时，I-A可逆，且有|（I-A）-1|（1-|A|）-1若I-A不可逆，则齐次线性方程组（I-A）x=0有非零解x，即x=Ax，因而有|x|=|Ax|A|x|x|但这是不可能的，故I-A可逆。于是 （I-A）-1= （I-A）+A （I-A）-1=I+A （I-A）-1因此|（I-A）-1|I|+|A（I-A）-1|=1+|A（I-A）-1|1+|A| （I-A）-1|即证 |（I-A）-1|（1-|A|）-1补充证明|I

10、|=1：由相容性可知：|A|A-1|A A-1|=|I|对于诱导范数（ ）。六、条件数条件数对研究方程的性态起着重要的作用。设矩阵A是可逆方阵，称|A|A-1|为矩阵A的条件数，记为cond（A），即cond（A）= |A|A-1|（1）cond（A） 1,并且A的条件数与所取的诱导范数的类型有关。因cond（A）= |A|A-1|A A-1|=|I|=1（2）cond（kA）= cond（A）=cond（A-1），这里k为任意非零常数。当选用不用的范数时，就得到不同的条件数，如：cond1（A）= |A|1|A-1|1cond（A）= |A|A-1|cond2（A）= |A|2|A-1|2=

11、，其中分别为AHA的特征值的模的最大值和最小值。谱条件数特别地，如果A为可逆的Hermite矩阵，则有cond2（A）= 这里分别为A的特征值的模的最大值和最小值。如果A为酉阵，则cond2（A）= 1例 求矩阵A的条件数cond1（A），cond（A）解：|A|1=max6;14;4=14;|A|=max8;3;13=14;故|A-1|1=17/4;|A-1|=47/4;cond1（A）= |A|1|A-1|1=1417/4=259/2;cond（A）= |A|A-1|=611/4。例 设线性方程组Ax=b的系数矩阵A可逆。讨论当b有误差b时，解的相对误差x的大小。因矩阵A可逆，所以Ax=b

12、有唯一解x=A-1b，设解的误差为x，由A（x+x）=b+b得 Ax=b或x=A-1b （1）又Ax=b，可得，或 （2）所以由（1）和（2），得这说明相误差的大小与条件数cond（A）密切相关；当右端b的相对误差一定时，cond（A）越大，解的相对误差就可能越大；cond（A）越小，解的相对误差就可能越小。因而条件数cond（A）可以反映A的特性。一般来说：条件数反映了误差放大的程度，条件数越大，矩阵越病态。条件数在最小二乘估计的稳定性研究中有重要应用。 鉴于矩阵A的条件数范数cond（A）有多种，但最常用的条件数是由谱范数|A|2导出的，称为谱条件数。在本章中，若无特别声明，讨论的条件数都是谱条件数。 谱条件数： 若A是mn阶矩阵，且rank（A） =tn，则A的条件数定义为即最大奇异值与最小非零奇异值的商。（3）其它性质对任意酉矩阵Q，cond（QAQH）= cond（A-1）；（因）