浙江省温州地区高三数学专题教学20讲 平面向量的综合运用梅山该Word文档格式.docx

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二、高考考点回顾：

在高考试题中，对平面向量的考查主要有四个方面：

其一是主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解和运用其直观的几何意义，并能正确地进行计算，如2004年浙江省卷第14题，2004年全国高考Ⅰ理科第3题，2004年全国高考Ⅱ理科第14题，2004年湖北高考理科解答题中的第19题。

其二考查向量坐标表示，向量的线性运算，如2004年全国高考Ⅱ理科第9题，2004年广东高考第1题，2004年上海高考文科第6题等。

其三是和其他知识结合在一起，在知识的交汇点设计试题，考查向量与学科知识间综合运用能力，如在2002年全国新课程卷上出现了与数列相结合的题目，2004年福建高考第17题（与三角函数结合），2004年全国卷Ⅱ理第21题（与解析几何结合）等；

其四是考查以向量为工具，即构造向量解决有关数量问题，如2004年重庆卷理科第21题（解析几何题）可借助向量垂直的充要条件进行求解等。

[基础知识梳理]

Ⅰ、平面向量知识结构表

向量的概念

向量的加、减法

两个向量平行的充要条件件件

向量

向量的运算

实数与向量的积

两个向量垂直的充要条件件件

向量的数量积

定比分点公式

向量的运用

在物理学中的应用

在地

平移公式

在几何中的应用

Ⅱ、内容概述

1、向量的概念

向量是区别于数量的一种量，它由大小和方向两个因素确定，向量有三种表示法：

一是用有向线段，二是用字母a或，三是用坐标a＝（x,y）。

注意共线向量（也称平行向量，方向相同或相反的向量）与相等向量（方向相同且模相等）的联系与区别。

2、向量的运算

向量的运算有加法、减法、数乘向量和向量的数量积四种。

注意前三种向量运算的几何表示和四种运算的坐标表示、运算律。

3、平面向量的定理及相关性质

（1）两个非零向量平行的充要条件：

a∥ba＝λb（∈R）

设a＝（x1,y1）,b＝（x2,y2）

则a∥bx1y2－x2y1＝0

（2）两个非零向量垂直的充要条件：

a⊥ba·

b＝0

设a＝（x1,y1）,b＝（x2,y2）

则a⊥bx1·

x2＋y1·

y2＝0

（3）平面向量基本定理：

如果有e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝λ1e1＋λ2e2.

（4）三点共线定理：

平面上三点A、B、C共线的充要条件是：

存在实数α、β，使，其中α＋β＝1,O为平面内的任一点。

4、常用公式及结论

a、向量模的公式：

设＝（x,y）,则︱︱＝

b、两点间的距离公式：

＝[P1（x1,y1）,P2（x2,y2）]

c、线段的定比分点坐标公式：

[P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,P（x,y）,]

d、中点坐标公式：

或[M（x0,y0）是线段AB中点]

e、两向量的夹角公式：

cosθ＝[0°

≤θ≤180°

a＝（x1,y1）,b＝（x2,y2）]

f、图形平移公式：

若点P（x,y）按向量a＝（h,k）平移至（,）,

则

g、有关向量模的常用结论：

①

②

③,

[例题讲解]

类型Ⅰ、平面向量学科内综合运用

此类题经常出现在选择题与填空题中，主要考查平面向量的有关概念与性质，要求考生深刻理解平面向量的相关概念，能熟练进行向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。

例1．已知a＝（5，4），b＝（3，2），则与2a－3b平行的单位向量为________。

[点拨]与一个非零向量a共线的单位向量有两个：

与a同向的单位向量e1＝，与a反向的单位向量e2＝－.求与已知向量平行的向量常用坐标运算。

[解析]法一：

∵2a－3b＝2（5，4）－3（3，2）＝（1，2）

∴

.

法二：

令e=（x,y）

∵2a－3b＝（1，2），且e与2a－3b平行，

∴x－2y＝0. 

①又∵x2＋y2＝1 

由①②解得.

[变式]已知b是a＝（－3，4）垂直，且＝15，求b.[（12，9）或（－12，－9）]

例2．已知＝1，＝1，a与b的夹角为60°

，x＝2a－b,y＝3b－a，则x与y的夹角是多少？

[点拨]要计算x与y的夹角，需求出，，x·

y的值,可利用2＝x2求解。

[解析]由已知＝＝1，a与b的夹角为60°

得a·

b＝·

·

cosα＝

∵2＝x2=（2a－b）2＝4a2－4a·

b＋b2＝4－4×

＋1＝3，

2＝y2=（3b－a）2＝9b2－6a·

b＋a2＝9－6×

＋1＝7,

x·

y＝（2a－b）·

（3b－a）＝7a·

b－2a2－3b2＝－，

又∵x·

y＝·

cosα，即－＝·

cosα

∴cosα＝－，α＝π－arccos.

[变式1]（2004年高考浙江卷）已知平面上三点A、B、C满足＝3,＝4,＝5,则的值等于__________。

[－25]

[变式2]已知＝，＝2，a和b的夹角为45°

，求使向量a＋λb与λa＋b的夹角是锐角时λ的取值范围。

[λ＜或λ＞（λ≠1）]

类型Ⅱ、平面向量与函数、不等式、三角函数、数列的综合运用

当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。

在此基础上，可以设计出有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题。

此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：

①利用向量平行或垂直的充要条件，

②利用向量数量积的公式和性质.

例3．已知平面向量a＝（，－1），b＝（,）.

（1）若存在实数k和t，便得x＝a＋（t2－3）b,y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f（t）；

（2）根据

（1）的结论，确定k＝f（t）的单调区间。

[解析]

（1）法一：

由题意知x＝（,）,

y＝（t－k，t＋k），又x⊥y

故x·

y＝×

（t－k）＋×

（t＋k）＝0。

整理得：

t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t.

∵a＝（，－1），b＝（,）,∴.＝2，＝1且a⊥b

∵x⊥y，∴x·

y＝0，即－k2＋t（t2－3）2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t

（2）由

（1）知：

k＝f（t）＝t3－t∴kˊ＝fˊ（t）＝t3－,

令kˊ＜0得－1＜t＜1；

令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.

故k＝f（t）的单调递减区间是（－1,1），单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.

[归纳]第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：

一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；

二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。

第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。

[变式1]已知平面向量＝（，－1），＝（，），若存在不为零的实数k和角α，使向量＝＋（sinα－3）,＝－k＋（sinα）,且⊥，试求实数k的取值范围。

[点拨]将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数综合运用能力。

[解析]仿例3

（1）解法

（二）可得

k＝（sinα－）2－,而－1≤sinα≤1,

∴当sinα＝－1时，k取最大值1；

sinα＝1时，k取最小值－.

又∵k≠0∴k的取值范围为.

[变式2]已知向量＝（x,x－4），向量＝（x2,x）,x∈[－4,2].

（1）试用x表示·

；

[2]求·

的最大值，并求此时·

夹角的大小。

[

（1）·

＝x3＋x2－6x,

（2）最大值为10，此时x=－2,θ＝arccos]

例4．（2004年高考福建卷）设函数f（x）＝a·

b，其中向量a＝（2cosx,1）,b＝（cosx,sin2x）,x∈R.

（1）若f（x）＝1－且x∈[－，]，求x；

（2）若函数y＝2sin2x的图象按向量c＝（m,n）（﹤）平移后得到函数y＝f（x）的图象，求实数m、n的值。

[分析]本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，

[解析]

（1）依题设，f（x）＝（2cosx，1）·

（cosx,sin2x）

＝2cos2x＋sin2x＝1＋2sin（2x＋）

由1＋2sin（2x＋）=1－，得sin（2x＋）＝－.

∵－≤x≤,∴－≤2x＋≤,

∴2x＋=－,即x＝－.

（2）函数y＝2sin2x的图象按向量c＝（m,n）平移后得到函数y＝2sin2（x－m）+n的图象，即函数y＝f（x）的图象.

由

（1）得f（x）＝∵＜，∴m＝－，n＝1.

[归纳]①把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是Cˊ，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径。

②一般地，函数y＝f（x）的图象按向量a＝（h,k）平移后的函数解析式为

y－k＝f（x－h）

例5．（2002年全国高考新课程卷）已知两点M（－1，0），N（1,0），且点P使·

，·

成公差小于零的等差数列.

（Ⅰ）点P的轨迹是什么曲线？

（Ⅱ）若点P坐标为（x0、y0），记θ为与的夹角，求tanθ.

[分析]本题依托向量把解析几何、三角、数列等知识很自然地融于一体,既考查了向量的长度、角度、数量积，又考查了轨迹方程、等差数列及同角三角函数间关系等重点知识，可谓一举多得。

[略解]（Ⅰ）设点P（x,y），分别计算出·

，

由题意，可得点P的轨迹方程是

故点P的轨迹是以原点为圆心、为半径的右半圆。

（