浙江省温州地区高三数学专题教学20讲 平面向量的综合运用梅山该Word文档格式.docx
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二、高考考点回顾:
在高考试题中,对平面向量的考查主要有四个方面:
其一是主要考查平面向量的概念、性质和运算法则,理解和运用其直观的几何意义,并能正确地进行计算,如2004年浙江省卷第14题,2004年全国高考Ⅰ理科第3题,2004年全国高考Ⅱ理科第14题,2004年湖北高考理科解答题中的第19题。
其二考查向量坐标表示,向量的线性运算,如2004年全国高考Ⅱ理科第9题,2004年广东高考第1题,2004年上海高考文科第6题等。
其三是和其他知识结合在一起,在知识的交汇点设计试题,考查向量与学科知识间综合运用能力,如在2002年全国新课程卷上出现了与数列相结合的题目,2004年福建高考第17题(与三角函数结合),2004年全国卷Ⅱ理第21题(与解析几何结合)等;
其四是考查以向量为工具,即构造向量解决有关数量问题,如2004年重庆卷理科第21题(解析几何题)可借助向量垂直的充要条件进行求解等。
[基础知识梳理]
Ⅰ、平面向量知识结构表
向量的概念
向量的加、减法
两个向量平行的充要条件件件
向量
向量的运算
实数与向量的积
两个向量垂直的充要条件件件
向量的数量积
定比分点公式
向量的运用
在物理学中的应用
在地
平移公式
在几何中的应用
Ⅱ、内容概述
1、向量的概念
向量是区别于数量的一种量,它由大小和方向两个因素确定,向量有三种表示法:
一是用有向线段,二是用字母a或,三是用坐标a=(x,y)。
注意共线向量(也称平行向量,方向相同或相反的向量)与相等向量(方向相同且模相等)的联系与区别。
2、向量的运算
向量的运算有加法、减法、数乘向量和向量的数量积四种。
注意前三种向量运算的几何表示和四种运算的坐标表示、运算律。
3、平面向量的定理及相关性质
(1)两个非零向量平行的充要条件:
a∥ba=λb(∈R)
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)
则a∥bx1y2-x2y1=0
(2)两个非零向量垂直的充要条件:
a⊥ba·
b=0
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)
则a⊥bx1·
x2+y1·
y2=0
(3)平面向量基本定理:
如果有e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2.
(4)三点共线定理:
平面上三点A、B、C共线的充要条件是:
存在实数α、β,使,其中α+β=1,O为平面内的任一点。
4、常用公式及结论
a、向量模的公式:
设=(x,y),则︱︱=
b、两点间的距离公式:
=[P1(x1,y1),P2(x2,y2)]
c、线段的定比分点坐标公式:
[P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),]
d、中点坐标公式:
或[M(x0,y0)是线段AB中点]
e、两向量的夹角公式:
cosθ=[0°
≤θ≤180°
a=(x1,y1),b=(x2,y2)]
f、图形平移公式:
若点P(x,y)按向量a=(h,k)平移至(,),
则
g、有关向量模的常用结论:
①
②
③,
[例题讲解]
类型Ⅰ、平面向量学科内综合运用
此类题经常出现在选择题与填空题中,主要考查平面向量的有关概念与性质,要求考生深刻理解平面向量的相关概念,能熟练进行向量的各种运算,熟悉常用公式及结论,理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。
例1.已知a=(5,4),b=(3,2),则与2a-3b平行的单位向量为________。
[点拨]与一个非零向量a共线的单位向量有两个:
与a同向的单位向量e1=,与a反向的单位向量e2=-.求与已知向量平行的向量常用坐标运算。
[解析]法一:
∵2a-3b=2(5,4)-3(3,2)=(1,2)
∴
.
法二:
令e=(x,y)
∵2a-3b=(1,2),且e与2a-3b平行,
∴x-2y=0.
①又∵x2+y2=1
由①②解得.
[变式]已知b是a=(-3,4)垂直,且=15,求b.[(12,9)或(-12,-9)]
例2.已知=1,=1,a与b的夹角为60°
,x=2a-b,y=3b-a,则x与y的夹角是多少?
[点拨]要计算x与y的夹角,需求出,,x·
y的值,可利用2=x2求解。
[解析]由已知==1,a与b的夹角为60°
得a·
b=·
·
cosα=
∵2=x2=(2a-b)2=4a2-4a·
b+b2=4-4×
+1=3,
2=y2=(3b-a)2=9b2-6a·
b+a2=9-6×
+1=7,
x·
y=(2a-b)·
(3b-a)=7a·
b-2a2-3b2=-,
又∵x·
y=·
cosα,即-=·
cosα
∴cosα=-,α=π-arccos.
[变式1](2004年高考浙江卷)已知平面上三点A、B、C满足=3,=4,=5,则的值等于__________。
[-25]
[变式2]已知=,=2,a和b的夹角为45°
,求使向量a+λb与λa+b的夹角是锐角时λ的取值范围。
[λ<或λ>(λ≠1)]
类型Ⅱ、平面向量与函数、不等式、三角函数、数列的综合运用
当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。
在此基础上,可以设计出有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题。
此类题的解题思路是转化为代数运算,其转化途径主要有两种:
①利用向量平行或垂直的充要条件,
②利用向量数量积的公式和性质.
例3.已知平面向量a=(,-1),b=(,).
(1)若存在实数k和t,便得x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,试求函数的关系式k=f(t);
(2)根据
(1)的结论,确定k=f(t)的单调区间。
[解析]
(1)法一:
由题意知x=(,),
y=(t-k,t+k),又x⊥y
故x·
y=×
(t-k)+×
(t+k)=0。
整理得:
t3-3t-4k=0,即k=t3-t.
∵a=(,-1),b=(,),∴.=2,=1且a⊥b
∵x⊥y,∴x·
y=0,即-k2+t(t2-3)2=0,∴t3-3t-4k=0,即k=t3-t
(2)由
(1)知:
k=f(t)=t3-t∴kˊ=fˊ(t)=t3-,
令kˊ<0得-1<t<1;
令kˊ>0得t<-1或t>1.
故k=f(t)的单调递减区间是(-1,1),单调递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞).
[归纳]第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法:
一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标,再利用向量垂直的充要条件;
二是直接利用向量的垂直的充要条件,其过程要用到向量的数量积公式及求模公式,达到同样的求解目的(但运算过程大大简化,值得注意)。
第2问中求函数的极值运用的是求导的方法,这是新旧知识交汇点处的综合运用。
[变式1]已知平面向量=(,-1),=(,),若存在不为零的实数k和角α,使向量=+(sinα-3),=-k+(sinα),且⊥,试求实数k的取值范围。
[点拨]将例题中的t略加改动,旧题新掘,出现了意想不到的效果,很好地考查了向量与三角函数综合运用能力。
[解析]仿例3
(1)解法
(二)可得
k=(sinα-)2-,而-1≤sinα≤1,
∴当sinα=-1时,k取最大值1;
sinα=1时,k取最小值-.
又∵k≠0∴k的取值范围为.
[变式2]已知向量=(x,x-4),向量=(x2,x),x∈[-4,2].
(1)试用x表示·
;
[2]求·
的最大值,并求此时·
夹角的大小。
[
(1)·
=x3+x2-6x,
(2)最大值为10,此时x=-2,θ=arccos]
例4.(2004年高考福建卷)设函数f(x)=a·
b,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,sin2x),x∈R.
(1)若f(x)=1-且x∈[-,],求x;
(2)若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(﹤)平移后得到函数y=f(x)的图象,求实数m、n的值。
[分析]本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能,
[解析]
(1)依题设,f(x)=(2cosx,1)·
(cosx,sin2x)
=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+)
由1+2sin(2x+)=1-,得sin(2x+)=-.
∵-≤x≤,∴-≤2x+≤,
∴2x+=-,即x=-.
(2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象,即函数y=f(x)的图象.
由
(1)得f(x)=∵<,∴m=-,n=1.
[归纳]①把函数的图像按向量平移,可以看成是C上任一点按向量平移,由这些点平移后的对应点所组成的图象是Cˊ,明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系,也就找到了此问题的解题途径。
②一般地,函数y=f(x)的图象按向量a=(h,k)平移后的函数解析式为
y-k=f(x-h)
例5.(2002年全国高考新课程卷)已知两点M(-1,0),N(1,0),且点P使·
,·
成公差小于零的等差数列.
(Ⅰ)点P的轨迹是什么曲线?
(Ⅱ)若点P坐标为(x0、y0),记θ为与的夹角,求tanθ.
[分析]本题依托向量把解析几何、三角、数列等知识很自然地融于一体,既考查了向量的长度、角度、数量积,又考查了轨迹方程、等差数列及同角三角函数间关系等重点知识,可谓一举多得。
[略解](Ⅰ)设点P(x,y),分别计算出·
,
由题意,可得点P的轨迹方程是
故点P的轨迹是以原点为圆心、为半径的右半圆。
(