人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》拔高练习Word文档下载推荐.docx

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7．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝6，BE＝1，则弦CD的长是　　．

8．（5分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，EB＝2，则⊙O的半径为　　．

9．（5分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8，AO＝5，则OF的长度是　　．

10．（5分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°

，则弦AB的长为　　．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）如图，OD是⊙O的半径，AB是弦，且OD⊥AB于点C连接AO并延长交⊙O于点E，若AB＝8，CD＝2，求⊙O半径OA的长．

12．（10分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝8，CD＝2，求⊙O的半径及EC的长．

13．（10分）如图，在△OAB中OA＝OB，⊙O交AB于点C、D，求证：

AC＝BD．

14．（10分）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为P，且CD＝2，BP＝1，求⊙O的半径．

15．（10分）如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°

，BC＝5，AC＝2，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．

（1）求BD的长；

（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．

参考答案与试题解析

【分析】连接OA，由M为圆O中弦AB的中点，利用垂径定理的逆定理得到OM垂直于AB，由AB的长求出AM的长，在直角三角形OAM中，由AM与OM的长，利用勾股定理求出OA的长，即为圆O的半径．

【解答】解：

连接OA，

∵在圆O中，M为AB的中点，AB＝8，

∴OM⊥AB，AM＝AB＝4，

在Rt△OAM中，OM＝3，AM＝4，

根据勾股定理得：

OA＝＝5．

∴MN＝5﹣3＝2

故选：

A．

【点评】此题考查了垂径定理的逆定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．

【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．

如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，

∵CD＝4cm，OD＝10cm，

∴OC＝6cm，

又∵OB＝10cm，

∴Rt△BCO中，BC＝＝8cm，

∴AB＝2BC＝16cm．

C．

【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出AC的长是解题关键．

【分析】连结OA，如图，根据垂径定理得AE＝BE＝AB＝8，再在Rt△AOE中利用勾股定理计算出OE，然后计算OD﹣OE即可．

连结OA，如图，

∵CD⊥AB，

∴AE＝BE＝AB＝8，

在Rt△AOE中，∵AO＝CD＝10，AE＝8，

∴OE＝＝6，

∴DE＝OD﹣OE＝10﹣6＝4．

【点评】本题考查了垂径定理：

垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．解决本题常作的辅助线是画半径得到由弦心距、半径和弦的一半组成的直角三角形，然后利用勾股定理进行几何计算．

【分析】过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理计算即可．

过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，

∵AB＝2cm，OD⊥AB，

∴AD＝AB＝×

2＝cm，

在Rt△AOD中，OA＝＝2（cm），

【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键

【分析】先根据垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理即可求解．

如图所示，

由题意知OC＝3，且OC⊥AB，

∵AB＝6，

∴AC＝AB＝3，

则OA＝＝＝3，

B．

【点评】此题考查了垂径定理．此题比较简单，解题的关键是利用垂径定理的知识构造直角三角形，然后利用勾股定理求解．

6．（5分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是　　；

⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是　﹣　．

【分析】连接OB，根据垂径定理求出BC，根据勾股定理计算求出OC，根据勾股定理求出OD，求出点D到AB的距离的最小值．

连接OB，

∵OC⊥AB，

∴BC＝AB＝，

由勾股定理得，OC＝＝，

当OD⊥AB时，点D到AB的距离的最小，

由勾股定理得，OD＝＝，

∴点D到AB的距离的最小值为﹣，

故答案为：

；

﹣．

【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

7．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝6，BE＝1，则弦CD的长是　2　．

【分析】根据垂径定理和勾股定理，即可得答案．

连接OC，

由题意，得

OE＝OA﹣AE＝3﹣1＝2，

CE＝ED＝，

CD＝2CE＝2，

2

【点评】本题考查了垂径定理，利用勾股定理，解题关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．

8．（5分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，EB＝2，则⊙O的半径为　5　．

【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理列式计算，得到答案．

设⊙O的半径为R，则OE＝R﹣2，

∴CE＝CD＝4，

由勾股定理得，OC2＝OE2+CE2，即R2＝（R﹣2）2+42，

解得，R＝5，

则⊙O的半径为5，

5．

9．（5分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8，AO＝5，则OF的长度是　　．

【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理求出OE、BC，证明△CFO∽△CEB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

∵弦BD⊥AO，

∴BE＝BD＝4，

由勾股定理得，OE＝＝3，

则CE＝OC+OE＝8，

∴BC＝＝4，

∵OF⊥BC，

∴CF＝BF＝2，

∵∠CFO＝∠CEB＝90°

，∠C＝∠C，

∴△CFO∽△CEB，

∴＝，即＝，

解得，OF＝，

．

【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，掌握垂径定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

，则弦AB的长为　5　．

【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC＝60°

，再利用垂径定理得出AB即可．

连接OC、OA，

∵∠ABC＝30°

，

∴∠AOC＝60°

∵AB为弦，点C为的中点，

∴OC⊥AB，

在Rt△OAE中，AE＝，

∴AB＝5，

【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出∠AOC＝60°

【分析】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值．

∵OD⊥弦AB，AB＝8，

∴AC＝＝4，

设⊙O的半径OA＝r，

∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，

在Rt△OAC中，

r2＝（r﹣2）2+42，

解得：

r＝5，

平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．

【分析】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值，连接BE，由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE＝90°

，利用OC是△ABE的中位线得到BE＝2OC＝6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE．

∴AC＝＝＝4，

连结BE，如图，

∵OD＝5，CD＝2，

∴OC＝3，

∵AE是直径，

∴∠ABE＝90°

∵OC是△ABE的中位线，

∴BE＝2OC＝6，

在Rt△CBE中，CE＝．

平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理、圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．

【分析】过点O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到CE＝DE，根据等腰三角形的性质得到AE＝BE，计算即可．

【解答】证明：

过点O作OE⊥AB于点E，

∵在⊙O中，OE⊥CD，

∴CE＝DE，

∵OA＝OB，OE⊥AB，

∴AE＝BE，

∴AE﹣CE＝BE﹣DE，

∴AC＝BD．

【点评】本题考查的是垂径定理、等腰三角形的性质，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解