二次函数在实际生活中的应用及建模应用Word文档格式.docx

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即当时，

故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。

点评：

在回答问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。

2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。

问如何围，才能使养鸡场的面积最大？

解：

设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（）（米），

根据题意，得：

又∵

∵中，a=＜0，∴y有最大值，

故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为平方米。

3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?

若能，求出两段铁丝的长度；

若不能，请说明理由．

（1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm

由题意得：

解得：

当时，20-x=4；

当时，20-x=16

答：

这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。

（2）不能。

理由是：

设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为cm，围成两个正方形的面积为ycm2，

根据题意，得：

，

∵中，a=2＞0，∴y有最小值，

即当时，=12.5＞12

故两个正方形面积的和不可能是12cm2.

4、如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y.

（1）求出y与x之间的函数关系式；

（2）正方形EFGH有没有最大面积？

若有，试确定E点位置；

若没有，说明理由.

∵四边形ABCD是边长为a米的正方形，

∴∠A=∠D=90°

，AD=a米．

∵四边形EFGH为正方形，∴∠FEH=90°

，EF=EH．

在△AEF与△DHE中，

∵∠A=∠D，∠AEF=∠DHE=90°

-∠DEH，EF=EH

∴△AEF≌△DHE（AAS），∴AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，

∴y=EF2=AE2+AF2=x2+（a-x）2=2x2-2ax+a2，即y=2x2-2ax+a2；

（2）∵y=2x2-2ax+a2=2（x-）2+，∴当x=时，S有最大值．

故当点E是AB的中点时，面积最大．

5、在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．

（1）运动第t秒时，△PBQ的面积y（cm²

）是多少？

（2）此时五边形APQCD的面积是S（cm²

），写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围．

（3）t为何值时s最小，最小值时多少？

答案：

6、小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？

设花圃的宽为x米,则花圃的长为（32-4x+3）=（35-4x）米,面积为S

从而S=x（35-4x）-x=-4x²

+34x

∵0＜35-4x≤10∴6.25≤x＜8.75

S=-4x²

+34x,对称轴x=4.25,开口朝下

∴当x≥6.25时S随x的增大而减小

故当x=6.25时,35-4×

6.25=10

S取最大值56.25㎡.

答：

可设计成宽6.25米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．

变式1：

小明的家门前有一块空地,空地外有一面长10米的围墙,为了美化生活环境,小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃,他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏,花圃的宽宽究竟应为多少米才能使花圃的面积最大?

设花圃的宽为x米,则花圃的长为（32-2x）米,面积为S

设矩形面积为y米²

得到：

S=x（32-2x）=-2x²

+32x

∵0＜32-2x≤10∴11≤x＜16

由图象或增减性可知x=11米时,

S最大=110米²

7：

某人定制了一批地砖，每块地砖（如图

（1）所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图

（2）所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．

（1）判断图

（2）中四边形EFGH是何形状，并说明理由；

（2）E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

（1）四边形EFGH是正方形．

图

（2）可以看作是由四块图

（1）所示地砖绕C点

按顺（逆）时针方向旋转90°

后得到的，

故CE=CF=CG．

∴△CEF是等腰直角三角形

因此四边形EFGH是正方形．　

（2）设CE=x,则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y元

那么：

y=x×

30+×

0.4×

（0.4-x）×

20+[0.16-x-×

10]

当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1．

当CE=CF=0.1米时，总费用最省．

8、某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成．若设花园的宽为x（m），花园的面积为y（m²

）．

（1）求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；

（2）根据

（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；

并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？

∵∴

∵二次函数的顶点不在自变量的范围内，

而当内，随的增大而减小，∴当时，

（平方米）

当米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．

9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米．

（1）要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？

（2）如果中间有n（n是大于1的整数）道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？

比较

（1）

（2）的结果，你能得到什么结论？

（1）∵长为x米，则宽为米，设面积为平方米．

∴当时，（平方米）

即：

鸡场的长度为25米时，面积最大．

（2）中间有道篱笆，则宽为米，设面积为平方米．

则：

由

（1）

（2）可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．

使面积最大的值与中间有多少道隔墙无关．

10、（08山东聊城）如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？

（如果要问，剪去四个正方形后的面积是多少）

（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？

如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；

如果没有，请你说明理由；

（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；

如果没有，请你说明理由．

（1）设正方形的边长为cm，

则．即．

解得（不合题意，舍去），．剪去的正方形的边长为1cm．

（2）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，则与的函数关系式为：

．即．改写为．

当时，．

即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．

（3）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2．若按图1所示的方法剪折，

则与的函数关系式为：

即．

若按图2所示的方法剪折，则与的函数关系式为：

．即．

比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm2．

11．（08兰州）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图16所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图17所示），求抛物线的解析式；

（2）求支柱的长度；

（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？

请说明你的理由．

（1）根据题目条件，的坐标分别是．

设抛物线的解析式为，

将的坐标代入，得解得．

所以抛物线的表达式是．

（2）可设，于是

从而支柱的长度是米．

（3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，则点坐标是．

过点作垂直交抛物线于，则．

根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．

12、

12、（2006年南京市）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10．在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD．令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？

最大值是多少？

∵矩形MFGN∽矩形ABCD

　　∴MF=2MN=2x∴EM=10-2x

∴S=x（10-2x）=-2x2+10x=-2（x-2.5）2+12.5

∵，∴

当x=2.5时，S有最大值12.5

13、已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，

则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4）

易知CN=4-x，EM=4-y．

过点B作BH⊥PN于点H

则有△AFB∽△BHP

∴，即，

∴，

此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，

∴当x≤5时，函数值随的增大而增大，

对于来说，当x=4时，．

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．

14．如图，矩形ABCD的边AB=6cm，BC=8cm，在BC上取一点P，在CD边上取一点Q，使∠APQ成直角，设BP=xcm，CQ=