线性代数总结汇总+经典例题Word下载.docx
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(三)按行(列)展开
9、按行展开定理:
(1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值
(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0
(四)行列式公式
10、行列式七大公式:
(1)|kA|=kn|A|
(2)|AB|=|A|·
|B|
(3)|AT|=|A|
(4)|A-1|=|A|-1
(5)|A*|=|A|n-1
(6)若A的特征值λ1、λ2、……λn,则
(7)若A与B相似,则|A|=|B|
(五)克莱姆法则
11、克莱姆法则:
(1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解
(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0
(3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;
如果方程组有非零解,那么必有D=0。
2矩阵
(一)矩阵的运算
1、矩阵乘法注意事项:
(1)矩阵乘法要求前列后行一致;
(2)矩阵乘法不满足交换律;
(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律)
(3)AB=O不能推出A=O或B=O。
2、转置的性质(5条)
(1)(A+B)T=AT+BT
(2)(kA)T=kAT
(3)(AB)T=BTAT
(4)|A|T=|A|
(5)(AT)T=A
(二)矩阵的逆
3、逆的定义:
AB=E或BA=E成立,称A可逆,B是A的逆矩阵,记为B=A-1
注:
A可逆的充要条件是|A|≠0
4、逆的性质:
(5条)
(1)(kA)-1=1/k·
A-1(k≠0)
(2)(AB)-1=B-1·
A-1
(3)|A-1|=|A|-1
(4)(AT)-1=(A-1)T
(7)设A是m×
n阶矩阵,B是n×
s矩阵,AB=O,则r(A)+r(B)≤n
11、秩的求法:
(1)A为抽象矩阵:
由定义或性质求解;
(2)A为数字矩阵:
A→初等行变换→阶梯型(每行第一个非零元素下面的元素均为0),则r(A)=非零行的行数
(五)伴随矩阵
12、伴随矩阵的性质:
(8条)
(1)AA*=A*A=|A|E→★A*=|A|A-1
(2)(kA)*=kn-1A*
(3)(AB)*=B*A*
(4)|A*|=|A|n-1
(5)(AT)*=(A*)T
(6)(A-1)*=(A*)-1=A|A|-1
(7)(A*)*=|A|n-2·
A
★(8)r(A*)=n(r(A)=n);
r(A*)=1(r(A)=n-1);
r(A*)=0(r(A)<n-1)
(六)分块矩阵
13、分块矩阵的乘法:
要求前列后行分法相同。
14、分块矩阵求逆:
3向量
(一)向量的概念及运算
1、向量的内积:
(α,β)=αTβ=βTα
2、长度定义:
||α||=
3、正交定义:
(α,β)=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=0
4、正交矩阵的定义:
A为n阶矩阵,AAT=E←→A-1=AT←→ATA=E→|A|=±
1
(二)线性组合和线性表示
5、线性表示的充要条件:
非零列向量β可由α1,α2,…,αs线性表示
(1)←→非齐次线性方程组(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=β有解。
★
(2)←→r(α1,α2,…,αs)=r(α1,α2,…,αs,β)(系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,用于大题第一步的检验)
6、线性表示的充分条件:
(了解即可)
若α1,α2,…,αs线性无关,α1,α2,…,αs,β线性相关,则β可由α1,α2,…,αs线性表示。
7、线性表示的求法:
(大题第二步)
设α1,α2,…,αs线性无关,β可由其线性表示。
(α1,α2,…,αs|β)→初等行变换→(行最简形|系数)
行最简形:
每行第一个非0的数为1,其余元素均为0
(三)线性相关和线性无关
8、线性相关注意事项:
(1)α线性相关←→α=0
(2)α1,α2线性相关←→α1,α2成比例
9、线性相关的充要条件:
向量组α1,α2,…,αs线性相关
(1)←→有个向量可由其余向量线性表示;
(2)←→齐次方程(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0有非零解;
★(3)←→r(α1,α2,…,αs)<s即秩小于个数
特别地,n个n维列向量α1,α2,…,αn线性相关
(1)←→r(α1,α2,…,αn)<n
(2)←→|α1,α2,…,αn|=0
(3)←→(α1,α2,…,αn)不可逆
10、线性相关的充分条件:
(1)向量组含有零向量或成比例的向量必相关
(2)部分相关,则整体相关
(3)高维相关,则低维相关
(4)以少表多,多必相关
★推论:
n+1个n维向量一定线性相关
11、线性无关的充要条件
向量组α1,α2,…,αs线性无关
(1)←→任意向量均不能由其余向量线性表示;
(2)←→齐次方程(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0只有零解
(3)←→r(α1,α2,…,αs)=s
特别地,n个n维向量α1,α2,…,αn线性无关
←→r(α1,α2,…,αn)=n←→|α1,α2,…,αn|≠0←→矩阵可逆
12、线性无关的充分条件:
(1)整体无关,部分无关
(2)低维无关,高维无关
(3)正交的非零向量组线性无关
(4)不同特征值的特征向量无关
13、线性相关、线性无关判定
(1)定义法
★
(2)秩:
若小于阶数,线性相关;
若等于阶数,线性无关
【专业知识补充】
(1)在矩阵左边乘列满秩矩阵(秩=列数),矩阵的秩不变;
在矩阵右边乘行满秩矩阵,矩阵的秩不变。
(2)若n维列向量α1,α2,α3线性无关,β1,β2,β3可以由其线性表示,即(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C,则r(β1,β2,β3)=r(C),从而线性无关。
←→r(β1,β2,β3)=3←→r(C)=3←→|C|≠0
(四)极大线性无关组与向量组的秩
14、极大线性无关组不唯一
15、向量组的秩:
极大无关组中向量的个数成为向量组的秩
对比:
矩阵的秩:
非零子式的最高阶数
★注:
向量组α1,α2,…,αs的秩与矩阵A=(α1,α2,…,αs)的秩相等
★16、极大线性无关组的求法
(1)α1,α2,…,αs为抽象的:
定义法
(2)α1,α2,…,αs为数字的:
(α1,α2,…,αs)→初等行变换→阶梯型矩阵
则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组
(五)向量空间
17、基(就是极大线性无关组)变换公式:
若α1,α2,…,αn与β1,β2,…,βn是n维向量空间V的两组基,则基变换公式为(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)Cn×
n
其中,C是从基α1,α2,…,αn到β1,β2,…,βn的过渡矩阵。
C=(α1,α2,…,αn)-1(β1,β2,…,βn)
18、坐标变换公式:
向量γ在基α1,α2,…,αn与基β1,β2,…,βn的坐标分别为x=(x1,x2,…,xn)T,y=(y1,y2,…,yn)T,,即γ=x1α1+x2α2+…+xnαn=y1β1+y2β2+…+ynβn,则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。
(六)Schmidt正交化
19、Schmidt正交化
设α1,α2,α3线性无关
(1)正交化
令β1=α1
(2)单位化
4线性方程组
(一)方程组的表达形与解向量
1、解的形式:
(1)一般形式
(2)矩阵形式:
Ax=b;
(3)向量形式:
A=(α1,α2,…,αn)
2、解的定义:
若η=(c1,c2,…,cn)T满足方程组Ax=b,即Aη=b,称η是Ax=b的一个解(向量)
(二)解的判定与性质
3、齐次方程组:
(1)只有零解←→r(A)=n(n为A的列数或是未知数x的个数)
(2)有非零解←→r(A)<n
4、非齐次方程组:
(1)无解←→r(A)<r(A|b)←→r(A)=r(A)-1
(2)唯一解←→r(A)=r(A|b)=n
(3)无穷多解←→r(A)=r(A|b)<n
5、解的性质:
(1)若ξ1,ξ2是Ax=0的解,则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解
(2)若ξ是Ax=0的解,η是Ax=b的解,则ξ+η是Ax=b的解
(3)若η1,η2是Ax=b的解,则η1-η2是Ax=0的解
【推广】
(1)设η1,η2,…,ηs是Ax=b的解,则k1η1+k2η2+…+ksηs为
Ax=b的解(当Σki=1)
Ax=0的解(当Σki=0)
(2)设η1,η2,…,ηs是Ax=b的s个线性无关的解,则η2-η1,η3-η1,…,ηs-η1为Ax=0的s-1个线性无关的解。
变式:
①η1-η2,η3-η2,…,ηs-η2
②η2-η1,η3-η2,…,ηs-ηs-1
(三)基础解系
6、基础解系定义:
(1)ξ1,ξ2,…,ξs是Ax=0的解
(2)ξ1,ξ2,…,ξs线性相关
(3)Ax=0的所有解均可由其线性表示
→基础解系即所有解的极大无关组
基础解系不唯一。
任意n-r(A)个线性无关的解均可作为基础解系。
★7、重要结论:
(证明也很重要)
设A施m×
s阶矩阵,AB=O
(1)B的列向量均为方程Ax=0的解
(2)r(A)+r(B)≤n(第2章,秩)
8、总结:
基础解系的求法
(1)A为抽象的:
由定义或性质凑n-r(A)个线性无关的解
(2)A为数字的:
A→初等行变换→阶梯型
自由未知量分别取1,0,0;
0,1,0;
0,0,1;
代入解得非自由未知量得到基础解系
(四)解的结构(通解)
9、齐次线性方程组的通解(所有解)
设r(A)=r,ξ1,ξ2,…,ξn-r为Ax=0的基础解系,
则Ax=0的通解为k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r(其中k1,k2,…,kn-r为任意常数)
10、非齐次线性方程组的通解
设r(A)=r,ξ1,ξ2,…,ξn-r为Ax=0的基础解系,η为Ax=b的特解,
则Ax=b的通解为η+k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r(其中k1,k2,…,kn-r为任意常数)
(五)公共解与同解
11、公共解定义:
如果α既是方程组Ax=0的解,又是方程组Bx=0的解,则称α为其公共解
12、非零公共解的充要条件:
方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解