相似三角形常见模型总结材料Word文件下载.docx
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由A字型旋转得到。
8字型拓展
EF
G
DBCEBC
共享性
一线三等角的变形
一线三直角的变形
第二部分相似三角形典型例题讲解
母子型相似三角形
例1：
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．
求证：
OC2OAOE．
例2：
已知：
如图，△
ABC中，点E在中线AD上,
DEB
ABC．
（
1）DB2
DEDA；
（2）
DCE
DAC．
E
AC
例3：
如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．
BE2EFEG．
相关练习：
1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：
FD2FBFC．
2、已知：
AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°
，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
（1）△AME∽△NMD;
（2）ND2=NC·
NB
3、已知：
如图，在△ABC中，∠ACB=90°
，CD⊥AB于D，E
是AC上一点，CF⊥BE于F。
EB·
DF=AE·
DB
4.在ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EFBC，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。
GBM90
5．（本题满分14分，第
（1）小题满分4分，第
（2）、（3）小题满分各
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°
，BC=2，AC=4，P是斜边AB
一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射
M
H
F
5分）
上的
线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为
x，△BEP的面积为
y．
P
（1）求证：
=2
；
AE
PE
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（第25
题图）
（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．
双垂型
1、如图，在△ABC中，∠A=60°
，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：
（1）△ABD∽△ACE；
（2）△ADE∽△ABC；
（3）BC=2ED
2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=62，
求：
点B到直线AC的距离。
BC
BDC
共享型相似三角形
1、△ABC是等边三角形
D、B、C、E在一条直线上
120
，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边
∠DAE=
长.
DBCE
如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°
．
（1）△∽△
BC
2
2BECD
ABE
ACD
一线三等角型相似三角形
BDE
如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°
（1）求证：
△BDE∽△CFD
（2）当BD=1，FC=3时，求BE
（1）在
ABC中，AB
AC5，BC
8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、
点B重合），且保持APQ
ABC.
①若点P在线段CB上（如图），且BP
6，求线段CQ的长；
②若BP
x，CQ
y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
Q
备用图
（2）正方形ABCD的边长为5（如下图），点P、Q分别在直线．．CB、DC上（点P不与点C、点B重
合），且保持APQ90.当CQ1时，求出线段BP的长.
ADADAD
BCBCBC
已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．
（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠
BPC＝∠A．
①求证；
△ABP∽△DPC
AP
②求的长．
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定
义域；
②当CE＝1时，写出AP的长．
AD
BB
CC
例4：
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABCDBC6，AD3．点M为边BC的中点，以
M为顶点作EMFB，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF．
△MEF∽△BEM；
（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；
（3）若EFCD，求BE的长．
1、如图，在△
ABC中，ABAC
8，BC10，D是BC边上的一个动点，点
E在AC边上，且
ADEC．
（1）
△
∽△
ABDDCE
如果BD
x，AE
y，求y与x的函数解析式，并写出自变量
x的定义域；
（3）
当点D是BC的中点时，试说明△
ADE是什么三角形，并说明理由．
2、如图，已知在△
中，
==6，
=5，
是
AB
上一点，
=2，
上一动点，联结
，并作
ABC
ABAC
BD
DE
DEFB，射线EF交线段AC于F．
△DBE∽△ECF；
（2）当F是线段AC中点时，求线段
BE的长；
（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．
BEC
3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E
是AB的中点．
（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：
△BEP∽△CPD；
（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同
时交直线AD于点M，那么
x
①当点
在线段
的延长线上时，设
=
，
y
，求
关于
的函数解析式，并写出函数的定义
CD
BPx
DF
域；
②当SDMF
9SBEP时，求BP的长．
4
题
（备用图）
4、如图，已知边长为
3的等边
ABC，点F在边BC上，CF
1，点E是射线BA上一动点，以线段EF
为边向右侧作等边
EFG，直线EG,FG交直线AC于点M,N，
（1）写出图中与
BEF相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
（3）设BEx,MN
y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量
x的取值范围；
（4）若AE1，试求GMN的面积．
一线三直角型相似三角形
例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PECP，
交边AB于点E,设PDx,AEy，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。
APD
例2、在
ABC中，C
90o,AC
4,BC
3,O是AB上的一点，且
AO
2，点P是AC上的一个动
5
点，PQ
OP交线段
于点
，（不与点
B,C
重合），设APx,CQ
y，试求
的函数关系，
并写出定义域。
BA
O
【练习1】
在直角ABC中，C90o,AB5,tanB3，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DFDE
交射线AC于点F
（1）、求AC和BC的长
（2）、当EF//BC时，求BE的长。
（3）、连结EF,当DEF和ABC相似时，求BE的长。
AA
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