数学必修二概念知识点大全Word格式.docx
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棱柱的本质特征
棱柱的两个本质特征:
⑴有两个平面互相平行的面;
⑵侧棱互相平行。
由这两个特征可以推出棱柱的所有侧面都是平行四边形,侧棱平行且相等,所有对角面都是平行四边形。
直棱柱是特殊的棱柱,“直”体现在侧棱与地面垂直;
正棱柱是特殊的直棱柱,“正”体现在底面是正多边形。
棱锥的结构特征
棱锥的定义:
一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
这个多边形叫做棱锥的底面或底;
有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;
各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;
相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
顶点到底面的距离叫做棱锥的高(如下图)。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又叫四面体。
棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母表示。
如上图中的四棱锥,表示为棱锥S-ABCD.
棱锥的特点:
底面是多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形。
如果棱锥的底面是正多边形,它的顶点又在过底面中心的垂线上,则这个棱锥叫做正棱锥。
正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形,这些等腰三角形边上的高都相等,叫做棱锥的斜高。
特殊的棱锥——正棱锥,即地面是正多边形,并且顶点在底面上的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。
两个条件缺一不可。
棱台的定义:
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。
原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的
二、问答题:
下底面和上底面;
其他各面叫做棱台的侧面;
相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱;
两底面间的距离叫做棱台的高(如下图)。
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……与棱柱的表示一样,上图中的棱台表示为棱台
由正棱锥截得的棱台叫做正棱台,正棱台各侧面都是全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高。
棱台的结构特征是:
各侧棱延长后相交于同一点;
两底面是平行的相似多边形
圆柱的结构特征
圆柱的定义:
以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
旋转轴叫做圆柱的轴;
在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个圆柱的高;
垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做侧面;
无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线(如下图)。
圆柱用表示它的轴的字母表示,如上图中的圆柱表示为圆柱.棱柱与圆柱统称为柱体。
圆柱有两个大小相同的底面,有无数条母线,而且圆柱的所有母线都平行且相等。
圆柱有两个本质特征:
平行于底面的截面是圆;
过轴的截面是全等的矩形。
圆锥的结构特征
圆锥的定义:
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
圆锥也有轴、底面、高、侧面和母线(如下图)。
圆锥也用表示它的轴的字母表示,如上图中的圆锥表示为圆锥SO.棱锥与圆锥统称为锥体。
圆锥的简单性质:
平行于底面的截面都是圆;
过轴的截面是全等的等腰三角形。
圆锥的轴截面包含了圆锥的各个元素,是解决圆锥问题常用的平面图形,它可以把空间问题转化为平面问题,这是解决空间几何问题的常用方法。
圆台的结构特征
圆台定义:
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台。
与圆柱、圆锥一样,圆台也有轴、高、底面、侧面、母线(如下图)。
圆台也用表示它的轴的字母表示,如上图中的圆台表示为圆台.棱台与圆台统称为台体。
圆台可以看作是由圆锥截得的,也可以看作是直角梯形绕其直角边旋转而成的。
圆台的结构特征:
过轴的截面是全等的等腰梯形;
圆台的母线长都相等,每条母线延长后,都与轴相交同一点。
球的结构特征?
?
球的定义:
以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球。
半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直线叫做球的直径(如下图)。
球常用表示球心的字母O表示
答:
烧饭时米变成了饭;
写字时纸上留下了字迹;
下雨后路上的积水慢慢地变成水蒸气消失在空中;
岩石风化变成沙子等。
,如上图中的球表示为球O.
球面距离:
球面上两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。
我们把这个弧长叫做两点的球面距离。
球体与球面是不同的,球体是几何体,球面是曲面,但两者也有联系,球面是球体的表面。
简单组合体的结构特征
简单组合体的构成有两种基本形式:
一种是由几何体拼接而成,一种是有简单几何体截去或挖去一部分而成。
简单组合体的分类:
多面体与多面体的组合:
由两个或两个以上的多面体组成的几何体。
多面体与旋转体的组合:
由一个多面体与一个旋转体组合而成。
旋转体与旋转体的组合体:
由两个或两个以上的旋转体组合而成。
2、空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积与体积
1.柱体、锥体、台体的表面积
⑴对于棱柱、棱锥、棱台等多面体,它们的表面积是其各个面的面积之和.因此,可以把它们展开成平面图形,利用平面图形求面积的方法,求立体图形的表面积⑵圆柱的侧面展开图是一个矩形(如下图),如果圆柱的底面半径为r,母线长为l,那么圆柱的底面面积为,侧面积为,此时圆柱的表面积.
(3)圆锥的侧面展开图是一个扇形(如下页图),如果圆锥的底面半径为r,母线为l,那么它的表面积.
(4)圆台的侧面展开图是一个扇环(如下图),它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积,即.
2.柱体、锥体、台体的体积
(S为底面积,h为柱体的高);
(S为底面积,h为锥体的高);
(、S分别为上、下底面面积,h为台体的高)。
球的体积和表面积
设球的半径为R,那么它的表面积,球的体积.
利用球的半径、球心到截面的距离、截面圆的半径所构成的直角三角形求出截面圆的半径,即.
3、空间点、直线、平面之间的位置关系
平面的概念及其表示法
为了表示平面,我们常把希腊字母等写在代表平面的平行四边形的一个角上,如平面α、平面β;
也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点,或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的简称,图
(1)的平面α也可以表示为平面、平面AC平面BD.
平面内有无数个点,平面可以看成点的集合。
点A在平面α内,记作外,点在平面α外,记作.
通常把希腊字母等写在代表平面的平行四边形的一个角上,如平面α、平面β来表示平面。
平面的基本性质
公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
公理2:
经过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论1:
经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
推论2:
6、重新使用是指多次或用另一种方法来使用已用过的物品,它也是减少垃圾的重要方法。
11、月食:
当地球转到月球和太阳的中间,太阳、地球、月球大致排成一条直线时,地球就会挡住太阳射向月球的光,这时在地球上的人就只能看到月球的一部分或全部看不到,于是就发生了月食。
二、问答:
经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3:
经过两条平行直线,有且只有一个平面。
公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们且只有一条过该点的公共直线。
公理1可以用来判断直线是否在平面内。
如果直线l上的所有点都在平面α内,就说直线l在平面α内,或者说平面α经过直线l,记作;
否则,就说直线l在平面α外,记作.
公理1也可以用符号表示:
.
公理2刻画了平面特有的基本性质,它给出了确定一个平面的依据。
不在一条直
线上的三个点A、B、C所确定的平面,可以记成“平面ABC”。
公理3告诉我们如果两个平面有一个公共点,那么它们必定还有另一个公共点,只要找出这两个平面的两个公共点,就找出了它们的交线。
公理3是判定两个平面相交的依据,即要证明两个平面相交,必须且只需证明这两个平面有一个公共点。
公理3是证明点在直线上的依据,即要证明一个点在某条直线上,可证该点是某两个平面的公共点,而该直线是这两个平面的交线。
公理3是证明几个点共线的依据,即要证明几个点共线,可证这几个点都是某两个平面的公共点。
实例:
如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面?
解:
两条平行直线确定一个平面,第三条直线有两点在此平面内,所以也在这个平面内。
于是,这三条直线共面。
异面直线及其相关性质
异面直线的定义:
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
如下图所示,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线,,我们把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)。
如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直。
两条互相垂直的异面直线a,b,记作.
(1)两异面直线所成的角与点O的选取无关。
(2)两异面直线所成角θ的范围是.
(3)判定空间两条直线是异面直线的方法:
①判定定理:
平面外一点A与平面内一点B连成的直线与平面内不过点B的直线是异面直线。
②反证法:
证明两直线共面不可能。
平行直线
公理4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行(传递性)。
等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
公理4表明空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相平行,它给出了判断两条直线平行的依据。
经过直线外一点,有且只有一条直线和这条直线平行。
由等角定理可以得到如下两个推论:
如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等。
7、月球的明亮部分,上半月朝西,下半月朝东。
在铁制品表面涂上油漆或菜油,用完铁制品后擦干放在干燥的地方等。
如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两组直线所成的角相等或互补。
证明空间两条直线平行的方法:
方法1:
利用定义
用定义证明两条直线平行,须证两件事:
一是两直线在同一平面内;
二是两直线没有公共点。
方法2:
利用公理4
用公理4证明两条直线平行,只须证一件事:
就是须找到直线c,使得,同时,由公理4,得到.
空间中直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系
空间中直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系:
1.空间中直线与直线的位置关系如下图:
2.直线与平面的位置关系如下图:
直线a与平面α相交或平行的情况统称为直线在平面外,记作.
直线与平面平行的判定
定理:
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
用符号表示:
利用判定定理证明直线与平面平行必须具备三个条件:
1直线a在平面外,即;
2直线b在平面内,即;
3两直线a,b平行,即.
判定