初三数学函数综合题型及解题方法讲解Word格式文档下载.docx

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AA

BB

M或者M

A’B’

例2：

已知抛物线的函数解析式为，若抛物线经过点，方程的两根为，，且。

（1）求抛物线的顶点坐标.

（2）已知实数，请证明：

≥,并说明为何值时才会有.

（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线，设，是上的两个不同点，且满足：

，，.请你用含有的表达式表示出△的面积，并求出的最小值及取最小值时一次函数的函数解析式。

（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a＝－３

　　　　　∴a＝１

　　　　　∴ｙ＝x2＋bx－３

　　　　　∵x2＋bx－３=０的两根为x1,x2且＝４

∴＝４且b＜０

∴b＝－２

∴ｙ＝x2－２x－３＝（x－１）２－４

∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４）

（2）∵x＞０，∴

∴显然当x＝１时，才有

（3）方法一：

由平移知识易得Ｃ２的解析式为：

y＝x2

∴Ａ（m，m２），B（n，n２）

∵ΔAOB为RtΔ

∴OA２+OB２=AB２

∴m２＋m４＋n２＋n４＝（m－n）２＋（m２－n２）２

化简得：

mn＝－１

∵ＳΔAOB==

∵mn＝－１

∴ＳΔAOB＝

＝

∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ（１,１）　　　

∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x　　　　　　　

①已知一元二次方程两个根x1,x2,求|x1-x2|。

因为|x1-x2|=

②

例3：

如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．

（3）在

（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？

若存在，求m的值；

若不存在，说明理由．

（1）设抛物线的解析式为：

y=a（x+1）（x﹣3），则：

a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；

∴抛物线的解析式：

y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．

（2）设直线BC的解析式为：

y=kx+b，则有：

，

解得；

故直线BC的解析式：

y=﹣x+3．

已知点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；

∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．

（3）如图；

∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN×

OB，

∴S△BNC=（﹣m2+3m）×

3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；

∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．

因为△BNC的面积不好直接求，将△BNC的面积分解为△MNC和△MNB的面积和。

然后将△BNC的面积表示出来，得到一个关于m的二次函数。

此题利用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；

当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值。

题型二：

二次函数与三角形的综合问题

例4：

如图，已知：

直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？

如果存在，请求出点E的坐标；

如果不存在，请说明理由．

解：

（1）：

由题意得，A（3，0），B（0，3）

∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组

解得：

∴抛物线的解析式为

（2）由题意可得：

△ABO为等腰三角形,如图所示，

若△ABO∽△AP1D，则

∴DP1=AD=4,

∴P1

若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于M，AD=4,

∵△ABO为等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：

DM=AM=2=P2M，

即点M与点C重合∴P2（1，2）

（3）如图设点E，则

①当P1（-1,4）时，

S四边形AP1CE=S△ACP1+S△ACE

=

∴∴

∵点E在x轴下方∴

代入得：

即

∵△=（-4）2-4×

7=-12<

∴此方程无解

②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE=

∵点E在x轴下方∴代入得：

即，∵△=（-4）2-4×

5=-4<

综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。

①求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。

②要求一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点的坐标，然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。

如果图形面积直接求不好求的时候，我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形。

例5：

如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°

至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，求点P的坐标；

（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°

∵∠AOB=120°

∴∠BOC=60°

又∵OA=OB=4，

∴OC=OB=×

4=2，BC=OB•sin60°

=4×

=2，

∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；

（2）∵抛物线过原点O和点A．B，

∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，

将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得

解得，

∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x

（3）存在，

如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），

①若OB=OP，

则22+|y|2=42，

解得y=±

2，

当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°

，sin∠POD==，

∴∠POD=60°

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°

+120°

=180°

即P、O、B三点在同一直线上，

∴y=2不符合题意，舍去，

∴点P的坐标为（2，﹣2）

②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，

解得y=﹣2，

故点P的坐标为（2，﹣2），

③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，

综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），

求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想。

因为要使一个三角形成为等腰三角形，只要三角形的任意两个边相等就可以，所以应该分三种情况来讨论。

题型三：

二次函数与四边形的综合问题

例6：

综合与实践：

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求直线AC的解析式及B，D两点的坐标；

（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：

随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；

若不存在，请说明理由．

（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3．

∵点A在点B的左侧，

∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．

当x=0时，y=3．

∴C点的坐标为（0，3）

设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），

则，

∴直线AC的解析式为y=3x+3．

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D的坐标为（1，4）．

（2）抛物线上有三个这样的点Q，

①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；

②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，

代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）；

③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，

代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）；

综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：

Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）．

（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC的对称点．

连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求，

过点B′作B′E⊥x轴于点E．

∵∠1和∠2都是∠3的余角，

∴∠1=∠2．

∴Rt△AOC～Rt△AFB，

∴，

由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，

∴AC=，AB=4．

∴BF=，

∴BB′=2BF=，

由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，

∴，即．

∴B′E=，BE=，

∴OE=BE﹣OB=﹣3=．

∴B′点的坐标为（﹣，）．

设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）．

∴直线B'

D的解析式为：

y=x+，

联立B'

D与AC的直线解析式可得：

∴M点的坐标为（，）．

求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想，一般需要分三种情况来讨论。

题型四：

二次函数与圆的综合问题

例7：

如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线过A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？

若存在，求出点P的坐标；

若不存在说明理由；

（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．

（1）如答图1，连接OB．

∵BC=2，OC=1

∴OB=

∴B（0，）

将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式

得，解得：

，

∴．

（2）存在．

如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．

∵B（0，），O（0，0），

∴直线l的表达式为．代入抛物线的表达式，

得；

∴P（）．

（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H．

设M（），

则S△MA