一次函数讲义Word文档格式.docx

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难点：

写出实际问题中正比例关系与一次函数关系的解析式。

建立一次函数模型，结合对函数关系的分析，对变量的变化规律作初步预测。

考点及考试要求

求函数自变量的取值范围，求一次函数的的解析式，建立一次函数模型

2.1函数和它的表示方法

1、变量与常量：

在一个过程中，固定不变的量称为常量；

可以取不同数值的量称为变量

问题1小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为时，应得报酬为元，填写下表：

工作时间（时）

1

5

10

15

20

…

报酬（元）

然后回答下列问题：

（1）在上述问题中，哪些是常量？

哪些是变量？

（常量16，变量、）

（2）能用的代数式来表示的值吗？

（能，=16）

注意：

常量与变量必须存在与一个变化过程中。

判断需这两个方面：

①看它是否在一个变化的过程中；

②看它在这个变化过程中的取值情况。

2、函数：

一般地，如果对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值，那么就说是的函数，叫做自变量；

与自变量对应的值叫做函数值，它与自变量的取值有关，通常函数值随着自变量的变化而变化．

函数的表示法：

①解析法：

问题1中，=16这个函数用等式来表示，这种表示函数关系的等式，叫做函数解析式，简称函数式．用函数解析式表示函数的方法也叫解析法．

②列表法：

有时把自变量的一系列值和函数的对应值列成一个表．这种表示函数关系的方法是列表法．如下表表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系．

月份

2

3

4

6

7

8

9

11

12

平均气温（℃）

3.8

5.1

9.3

15.4

20.2

24.3

28.6

28.0

23.3

17.1

12.2

6.3

③图象法:

我们还可以用法来表示函数，例如图中的图象就表示骑车时热量消耗（焦）与身体质量（千克）之间的函数关系．解析法、图象法和列表法是函数的三种常用的表示方法．

3、函数值概念

若函数用解析法表示，只需把自变量的值代人函数式，就能得到相应的函数值．

例如对于函数=16，当=5时，把它代人函数解析式，得=16×

5=80（元）．

=80叫做当自变量=5时的函数值．

由于函数值的概念是由函数的概念派生出来，用列表法、图象法表示函数时同样存在函数值的概念，教学中也可以增加一些具体例子，来加深学生的印象．

若函数用列表法表示．我们可以通过查表得到．例如一年内某城市月份与平均气温的函数关系中，当=2时，函数值=5.1；

当=10时，函数值=17.1．

若函数用图象法表示．例如骑车时热量消耗（焦）与身体质量（千克）之间的函数关系中，对给定的自变量的值，怎样求它的函数值呢？

如x=50，我们只要作一直线垂直于x轴，且垂足为点（50，0），这条直线与图象的交点P（50，399）的纵坐标就是就是当函数值x=50时的函数值，即W=399（焦）．

例1求下列函数中自变量x的取值范围：

（1）y＝3x－1；

（2）y＝2x2＋7；

（3）；

（4）．

分析用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值．例如，在

（1），

（2）中，x取任意实数，3x－1与2x2＋7都有意义；

而在（3）中，x＝－2时，没有意义；

在（4）中，x＜2时，没有意义．

解

（1）x取值范围是任意实数；

（2）x取值范围是任意实数；

（3）x的取值范围是x≠－2；

（4）x的取值范围是x≥2．

归纳四个小题代表三类题型．

（1），

（2）题给出的是只含有一个自变量的整式；

（3）题给出的是分母中只含有一个自变量的分式；

（4）题给出的是只含有一个自变量的二次根式．

例2等腰三角形ABC的周长为10,底边长为y,腰AB长为x.求:

（1）y关于x的函数解析式；

（2）自变量x的取值范围；

（3）腰长AB=3时,底边的长.

分析

（1）问题中的x与y之间存在怎样的数量关系?

这种数量关系可以什么形式给出?

（2x+y=10）

（2）这个等式算不算函数解析式?

如果不算,应该对等式进行怎样的变形?

（3）结合实际,x与y应满足怎样的不等关系?

归纳

（1）在求函数解析式时,可以先得到函数与自变量之间的等式,然后解出函数关于自变量的函数解析式；

（2）在求自变量的取值范围时,要从两个方面来考虑:

①代数式要有意义；

②要符合实际.

例3求下列函数当x=2时的函数值：

（1）y=2x-5；

（2）y=－3x2；

　　　（4）．

分析　函数值就是y的值，因此求函数值就是求代数式的值．

解

（1）当x=2时，y=2×

2－5=－1；

（2）当x=2时，y=－3×

22=－12；

（3）当x=2时，y==2；

（4）当x=2时，y==0．

随堂练习

1、分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：

（1）一个正方形的边长为3cm，它的各边长减少xcm后，得到的新正方形周长为ycm．求y和x间的关系式；

（2）寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式；

（3）矩形的周长为12cm，求它的面积S（cm2）与它的一边长x（cm）间的关系式，并求出当一边长为2cm时这个矩形的面积．

2、求下列函数中自变量x的取值范围：

（1）y＝－2x－5x2；

（3）y＝x（x＋3）；

（4）．

3、当x＝2及x＝－3时，分别求出下列函数的函数值：

（1）y＝（x+1）（x－2）；

（2）y＝2x2－3x＋2；

（3）．

2.2一次函数和它的图像

一、一次函数的定义

1、比较下列各函数，它们有哪些共同特征？

提示：

比较所含的代数式均为整式，代数式中表示自变量的字母次数都为一次。

定义：

一般地，函数叫做一次函数。

当时，一次函数就成为叫做正比例函数，常数叫做比例系数。

强调：

（1）作为一次函数的解析式，其中，k、b是常量且k≠0，x、y是变量,x是自变量，y是自变量的函数。

（2）当时，为正比例函数。

例1：

下列函数中，哪些是一次函数？

哪些是正比例函数？

系数和常数项的值各为多少？

例2：

求出下列各题中与之间的关系，并判断是否为的一次函数，是否为正比例函数：

（1）某农场种植玉米，每平方米种玉米6株，玉米株数与种植面积之间的关系。

（2）正方形周长与面积之间的关系。

（3）假定某种储蓄的月利率是0.16%，存入1000元本金后。

本钱与所存月数之间的关系。

此例是为了及时巩固一次函数、正比例函数的概念，相对比较容易，可以让学生自己完成。

解：

（1）因为每平方米种玉米6株，所以平方米能种玉米株。

得，是的一次函数，也是正比例函数。

（2）由正方形面积公式，得，不是的一次函数，也不是正比例函数。

（3）因为该种储蓄的月利率是0.16%，存月所得的利息为，所以本息和，是的一次函数，但不是的正比例函数。

练习：

1.已知若是的正比例函数，求的值。

2.已知是的一次函数，当时，；

当时，

（1）求关于的一次函数关系式。

（2）求当时，的值。

2、函数的图象

1、在同一坐标系上画出下列函数y=x,y=x+2,y=x-2的图象，然后比较它们有什么异同点？

归纳：

这几个函数的图象形状都是直线，并且倾斜程度_相同_函数y=x的图象经过原点，函数y=x+2的图象与y轴交于点（0,2），即它可以看作由直线y=x向_上_平移2个单位长度而得到．函数y=x-2的图象与y轴交于点_（0,-2），即它可以看作由直线y=x向下平移_2_个单位长度而得到．

2、一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx图象的关系：

一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.

（当b>

0时，向上平移；

当b<

0时，向下平移）

例1:

a.你能画出函数y=2x-1与y=x+1的图象吗？

（图略）

x

y=2x-1

-1

y=x+1

∴y=2x-1的图象是经过点（0，-1）和点（1，1）的直线；

y=x+1是经过点（0，1）点（1，2）的直线。

一次函数一般选取（0，b）（1,k+b）

三、一次函数的性质：

1：

当k>

0时,y随x的增大而增大；

当k<

0时,y随x的增大而减小。

2：

（1）图象的位置:

（2）增减性

　　k>

0时，y随x增大而增大

　　k<

0时，y随x增大而减小

（3）象限

1.函数y=10x-9的图象经过第_象限,y的值随着x值的增大而。

2.函数y=-0.3x+4的图象经过第象限,y的值随着x值的增大而.

3.直线y=-x-2的图象不经过第象限.

4.直线y=k（x-k）（k>

0）的图象经过第象限

5.

（1）直线y=5x-7与直线y=kx+2平行，则k=.

（2）直线y=3x+2向上平移3个单位长度得到的直线解析式为；

（3）直线y=3x+2向下平移4个单位长度得到的直线解析式为.

6、已知一次函数y=（1-2m）x+m-1,求满足下列条件的m的值：

（1）函数值y随x的增大而增大；

（2）函数图象与y轴的负半轴相交；

（3）函数的图象过第二、三、四象限；

（4）函数的图象过原点。

四．求一次函数解析式的方法

　　求函数解析式的方法主要有三种

（1）由已知函数推导或推证

（2）由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。

　　（3）用待定系数法求函数解析式。

　　“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：

　　①利用一次函数的定义

　　构造方程组。

　　②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；

直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。

　　③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。

④利用题目已知条件直接构造方程。

　例1．已知一次函数=（n-2）x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断=（3-）是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系