运筹学总复习Word格式文档下载.docx
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解设生产产品Ⅰ和Ⅱ分别为和件，则由条件可得关系
⑴标准型的概念：
①目标函数为极大化；
②资源常数；
③约束条件关系为等式；
④决策变量。
例：
将下面的线性规划化为标准型
无非负限制
解
二、图解法
例用图解法求解线性规划问题
极大化
解：
最优解
三、单纯形方法
对于具有两个以上决策变量的线性规划问题，我们采用单纯形方法进行求解。
具体过程是：
⑴建立单纯形表，在单纯形表中，务必使基变量的价值系数为零，则检验数行是价值系数行的相反数；
⑵若检验数则当前解为最优解（当前解是基变量取相应的资源常数，非基变量取为零）；
若存在检验数，则要进行相应的换基，即：
迭代；
⑶①进基：
进基变量
：
②出基：
出基变量为第行所对应的基变量，由下面的关系确定
③以主元进行迭代，目标：
主元化为1，该列的其余元化为零。
⑷再一次判定当前解是否为最优解。
例用单纯形法求解线性规划
解引入松弛变量，得到原规划的标准型
单纯形表为
所以，最优解为最优解值为21.
人工变量法
对于约束条件中没有阶单位阵的线性规划，通过引入适当的人工变量，再加以求解。
1.大法
在大法中，引入的人工变量的价值系数为，而相应的约束条件系数向量为单位向量。
2.二阶段法
例用人工变量法求解线性规划。
s.t.
符号不限。
例求解规划
建立对偶规划的要点
⑴原规划是极大化，则对偶规划是极小化；
⑵原规划的价值系数是对偶规划中的资源常数；
⑶原规划与对偶规划的约束条件系数矩阵为矩阵的转置关系；
⑷原规划中的第个决策变量无非负限制，则对偶规划中的第个约束条件为等式；
⑸原规划中的第个决策变量非正，则对偶规划中的第个约束条件取反向不等式；
例求下面问题的对偶规划
极大化
无非负限制。
解极小化
对偶单纯形法
基本要求：
检验数；
资源常数存在负值。
解法：
1．列出对偶单纯形表；
2．将基变量在目标函数中系数化为零，检验数为新目标函数中系数的相反数；
3．判断，若，则当前解为最优解；
若中存在负项，则进行迭代，确定出基和进基变量；
出基：
记为第r行对应的变量；
进基：
，为进基变量；
以为主元进行迭代。
目标：
将主元化为1，该列的其余元化为0。
灵敏度分析
灵敏度分析的任务：
确定各个变量使得最优解保持不变的变化范围；
以及在最优解改变的时候求出相应的最优解。
⑴非基变量的价值系数的变化范围，使最优解保持不变。
⑵基变量的价值系数的变化范围，使最优解保持不变。
：
若最优解改变，则对两种情况有
⑶资源常数变化范围使最优基不变：
⑷非基变量的系数向量的增量的变化范围使最优解不变：
⑸增加新的决策变量使最优解保持不变：
设线性规划
求：
1.最优解;
2.确定的范围,使最优解不变;
取,求最优解;
3.确定的范围,使最优基不变,取求最优解;
4.引入求最优解;
解1.由单纯形方法得
即,原问题的最优解为
2.因为非基变量,故当时,即时,最优解不变;
为基变量,由公式,当最优解不变,即
时,最优解不变.
现对最优解改变,此时原最优表为
即相应的最优解为
3.此时
得最优基不变.即
最优基不变.
当最优解改变,此时
此时最优表为
即最优解为
4.此时
故最优解改变.
相应的最优表为
例用分枝定界法求解整数规划
用隐枚举法求解0-1规划
运输问题（产销平衡）的求解方法：
表上作业法
1.用最小元素法求初始解；
2.用位势法求出当前解所对应的位势：
若为基变量，则行位势和列位势满足关系
3.用位势法计算非基变量的影响系数：
若为非基变量，则影响系数与行位势和列位势满足关系
4.最优解的判定：
若影响系数则当前解为最优解；
否则通过解的调整求出最优解；
5.解的调整：
⑴记：
⑵令为所对应的非基变量，以为当前变量，构造闭回路；
⑶在闭回路上确定最大调整量；
⑷求出新解
6.重新判定当前解是否为最优解。
产销不平衡的运输问题的求解方法：
设置虚拟产地或销地以达到产销平衡.
指派问题的求解：
1.的指派问题的最小值解的求解方法：
⑴用行缩减和列缩减在每行和每列至少产生一个零；
⑵用划线法判定是否有个独立的零；
⑶如果有个独立的零，则可以求出最小值解；
⑷若没有个独立的零，重新进行调整，以求出个独立的零。
2.的指派问题的最小值解的求解方法：
设置虚拟变量，其价值系数取为零。
3.指派问题中的最大值求解。
例求下面运输问题的最小值解：
11
10
7
9
5
6
解：
由最小元素法得到初始解：
v1=2
v2=9
v3=3
v4=10
u1=0
u2=-1
u3=-5
则：
，最小值为-6，非基变量为，闭回路，最大调整量为1，得新解：
，
重新计算位势及影响系数，得下表：
v1=8
u2=-7
，最小值为-5，非基变量为，闭回路，最大调整为2，得新解：
v1=3
v2=4
v4=5
u2=-2
u3=0
，此时，，故当前解为最优解。
最优解值为：
。
产销不平衡的运输问题：
对产销不平衡的运输问题，求解的基本方法是设置虚拟变量，其单位运输成本为0，从中求出最优解。
求下面运输问题的最小运费解：
8
例:
求解运输问题
50
60
25
40
20
15
求下面指派问题的最小值解：
故最优解为：
，最优解值为
求下面指派问题的最小值及最大值解：
求下面指派问题的最大值解：
最短路问题：
求下面从到的最短线路和最短距离：
；
所以：
设有某种肥料共6个单位，准备给4块粮田用，其每块粮田施肥数量与增产粮食的关系如下表所示。
试求对每块田施多少单位重量的肥料，才能使总的粮食增产最多。
施肥
粮田
18
28
42
45
39
47
57
61
65
75
78
74
85
70
90
80
73
95
表1，对两块田的施肥：
收益
田1
田2
20+0
0+25
42+0
20+25
0+45
60+0
42+25
20+45
0+57
67
75+0
60+25
42+45
20+57
0+65
87
85+0
75+25
60+45
42+57
20+65
0+70
105
90+0
85+25
75+45
60+57
42+65
20+70
0+73
120
表2，对三块田的施肥：
25+0
0+18
45+0
25+18
0+39
67+0
45+18
25+39
0+61
87+0
67+18
45+39
25+61
0+78
105+0
87+18
67+39
45+61
25+78
0+90
106
120+0
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