人教版高中数学必修2第二章空间点直线平面之间的位置关系 同步教案1Word格式文档下载.docx

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情感态度价值观：

提高学生对空间几何的兴趣．

教学重点与难点

重点：

平面基本性质及异面直线所成角

难点：

运用三条公理解决问题．

教学过程

（一）平面

知识梳理

1．平面

描述

几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限_延展的

画法

通常把水平的平面画成一个__平行四边形___，并且其锐角画成45°

，且横边长等于其邻边长的__2__倍，如图1所示；

如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用_虚线画出来，如图2所示

记法

（1）

用一个__希腊字母__α，β，γ等来表示，如上图1中的平面记为平面α

（2）

用两个大写的___英文字母___（表示平面的平行四边形的对角线的顶点）来表示，如上图1中平面记为平面AC或平面BD

（3）

用三个大写的英文字母（表示平面的平行四边形的不共线的顶点）来表示，如上图1中的平面记为平面ABC或平面_BCD__等

（4）

用四个大写的英文字母（表示平面的平行四边形_顶点_）来表示，如上图1中的平面可记为平面ABCD

2．点、线、面的位置关系的表示

A是点，l，m是直线，α，β是平面.

3．公理1

4．公理2

5．公理3

例题精讲

【题型一、平面的概念】

【例1】下列命题：

（1）书桌面是平面；

（2）8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；

（3）有一个平面的长是50m，宽是20m；

（4）平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为（　　）

A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4

【方法技巧】习惯上，用平行四边形表示平面；

在一个具体图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面．

【题型二、点、线、面的位置关系的表示】

【例2】．如图所示，平面ABEF记作平面α，平面ABCD记作平面β，根据图形填写：

（1）A∈α，B________α，E________α，C________α，D________α.

（2）α∩β＝________.

（3）A∈β，B________β，C________β，D________β，E________β，F________β.

（4）AB________α，AB________β，CD________α，CD________β，BF________α，BF________β.

【例3】．已知直线m⊂平面α，P∉m，Q∈m，则（　　）

A．P∉α，Q∈αB．P∈α，Q∉αC．P∉α，Q∉αD．Q∈α

【方法技巧】从集合的角度理解点、线、面之间的关系

（1）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．

（2）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．

（3）直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．

【题型三、关于数学语言（文字语言、符号语言、图形语言）的互译问题】

【例4】用符号语言表示下列语句，并画出图形：

（1）三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC.

（2）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.

【方法技巧】学习几何问题，三种语言间的互相转换是一种基本技能．要注意符号语言的意义，如点与直线、点

与平面间的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面间的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．由图形语言表示点、线、面的位置关系时，要注意实线和虚线的区别．

【题型三、三个公理的理解】

【例5】判断下列说法是否正确，并说明理由：

（1）一点和一条直线确定一个平面；

（2）经过一点的两条直线确定一个平面；

（3）两两相交的三条直线确定一个平面；

（4）首尾依次相接的四条线段在同一平面内．

【方法技巧】公理2是确定平面的依据，对涉及这方面的应用，务必分清它们的条件；

立体几何研究的对象是空间点、线、面的位置关系，要有一定的空间想象能力．对于问题中的点、线，要注意它们可能存在的不同的位置关系，以及由此产生的不同结果．

【题型四、点共线与线共点的问题】

【例6】已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：

P、Q、R三点共线．

【方法技巧】证明点线共面的常用方法：

（1）归一法：

先由部分元素确定一个平面，再证其余元素也在这个平面内，其中第一步要应用公理2，第二步要应用公理1.

（2）重合法：

应用公理1，先由部分元素分别确定平面，然后应用公理2证明这几个平面重合．

●误区警示

易错点：

对于条件所给的点的位置关系考虑不全面

例：

空间中四点，如果任意三点都不共线，那么由这四个点可以确定多少个平面？

[错解]　因为不共线的三点确定一个平面，所以由题设条件中的四点可确定四个平面．

[错因分析]　忽略了四个点在同一个平面上的可能．

[思路分析]　空间中任意三点都不共线的四点有两种位置关系：

一种是任意不共线的三点所确定的平面过第四个点，此时，这四个点只能确定一个平面；

另一种是任意不共面的三点所确定的平面不过第四个点，此时，这四个点可确定四个平面．

[正解]　一个或者是四个．

巩固训练

1．下列命题中正确命题的个数是（　　）

①三角形是平面图形；

②四边形是平面图形；

③四边相等的四边形是平面图形；

④圆是平面图形

A．1个　　　　　B．2个C．3个D．4个

2．如右图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为（　　）

A．平面MNB．平面NQP

C．平面αD．平面MNPQ

3．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是（　　）

A．A∈l，l∉αB．A∈l，l⊄αC．A⊂l，l⊄αD．A⊂l，l∉α

4．三点可确定平面的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．1或无数个

5．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面（　　）

A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点

C．仅有两个公共点D．有无数个公共点

6．看图填空：

（1）AC∩BD＝________.

（2）平面AB1∩平面A1C1＝________.

（3）平面A1C1CA∩平面AC＝________.

（4）平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________.

（5）平面A1C1∩平面AB1∩平面B1C＝________.

（6）A1B1∩B1B∩B1C1＝________.

7．求证：

一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面．

8．三个平面α、β、γ两两相交，交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，已知直线a和b不平行．

求证：

a、b、c三条直线必过同一点．

（二）空间中直线与直线之间的位置关系

1．异面直线

（1）概念：

不同在___任何一个___平面内的两条直线叫做异面直线．

（2）图示：

如图

（1）

（2）所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．

2．空间两条直线的位置关系

（1）相交直线——同一平面内，__有且只有__一个公共点．

（2）平行直线——同一平面内，__没有___公共点．

（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点．

注：

（1）若无特别说明，书中的两条直线均指不重合的两条直线．

（2）空间两条直线的位置关系空间两条直线平行

3．公理4

4．等角定理

5．两条异面直线所成的角（夹角）

（1）定义：

已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．

（2）异面直线所成的角α的范围：

0°

＜α≤90°

.

（3）两条异面直线垂直：

如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b.

【题型一、空间两条直线位置关系的判定】

【例1】已知a，b，c是空间三条直线，下面给出四个命题：

①如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；

②如果a，b是异面直线，b，c是异面直线，那么a，c也是异面直线；

③如果a，b是相交直线，b，c是相交直线，那么a，c也是相交直线；

④如果a，b共面，b，c共面，那么a，c也共面．在上述命题中，正确命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

【方法技巧】

1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍

（1）建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．

（2）重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．

2．判定两条直线是异面直线的方法

（1）方法一：

证明两条直线既不平行又不相交．

（2）重要结论：

连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线（如图）．

【题型二、公理4、等角定理的应用】

【例2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．

（1）EF//E1F1；

（2）∠EA1F＝∠E1CF1.

【方法技巧】求证两直线平行：

一是应用公理4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；

二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点．

求证角相等：

一是用等角定理；

二是用三角形全等或相似．

【题型三、求异面直线所成的角】

【例3】如图，P是平面ABC外一点，PA＝4，BC＝，D，E分别为PC和AB的中点，且DE＝3.求异面直线PA和BC所成角的大小．

【方法技巧】1.求异面直线所成的角的一般步骤为：

（1）找出（或作出）适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；

若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．

（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．

（3）结论——设由

（2）所求得的角的大小为θ.若0°

＜θ≤90°

，则θ为所求；

若90°

＜θ＜180°

，则180°

－θ为所求．

2．求两异面直线所成角的大小．

（1）求两异面直线所成角的关键在于作角，总结起来有如下“口诀”：

中点、端点定顶点，平移常用中位线；

平行四边形柱中见，指出成角很关键；

求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；

平行线若在外，补上原体在外边．

（2）如果求得的角的余弦值为负值的话，这说明两条异面直线所成的角应该是所求角的补角，所以在指明所求角的时候，应该说“这个角或其补角”即为所求的角．特别提醒：

两条异面直线所成角的范围：

（0，π2]．

1．不平行的两条直线的位置关系是（　　）

A．相交B．异面C．平行D．相交或异面

2．如果两条直线a和