完整升级版八年级北师大九年级数学教案.docx

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完整升级版八年级北师大九年级数学教案

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）

八年级§1.1、你能证明它们吗

（一）

一、教学目标：

1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

3、结合实例体会反证法的含义。

二、教学重点：

了解作为证明基础的几条公理的内容，通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格式。

教学难点：

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理（特别是证明等腰三角形性质时辅助线做法）。

3、教学方法：

观察法。

4、教学分析：

本节是学习了证明之后的基础上，进一步证明技巧和规范证明过　　　程

五、教学过程：

复习：

1、什么是等腰三角形？

2、你会画一个等腰三角形吗？

并把你画的等腰三角形栽剪下来。

3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？

新课讲解：

在《证明

（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。

同学们和我一起来回忆上学期学过的公理

♦本套教材选用如下命题作为公理:

♦1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

♦2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;

♦3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）

♦4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）

♦5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）

♦6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.

由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：

推论　两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）

证明过程：

已知：

∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF

求证：

△ABC≌△DEF

证明：

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∠D+∠E+∠F=180°

（三角形内角和等于180°）

∴∠C=180°-（∠A+∠B）

∠F=180°-（∠D+∠E）

又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）

∴∠C=∠F

又∵BC=EF（已知）

∴△ABC≌△DEF（ASA）

定理：

等腰三角形的两个底角相等。

这一定理可以简单叙述为：

等边对等角。

已知：

如图，在ABC中，AB＝AC。

求证：

∠B＝∠C

证明：

取BC的中点D，连接AD。

∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，

∴△ABC△≌△ACD（SSS）

∴∠B=∠C（全等三角形的对应边角相等）

（让同学们通过探索、合作交流找出其他的证明方法。

做∠BAC的平分线，交BC边于D；过点A做AD⊥BC。

。

学生指出该定理的条件和结论，写出已知、求证，画出图形，并选择一种方法进行证明。

）

想一想：

在上图中，线段AD还具有怎样的性质？

为什么？

由此你能得到什么结论？

（应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，讨论图中存在的相等的线段和相等的角，发现等腰三角形性质定理的推论，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。

）

推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

随堂练习：

做教科书第4页第1，2题。

（引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程。

）

六、课堂小结：

通过这节课的学习你学到了什么知识？

（学生小结：

通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

探体会了反证法的含义。

）

七、作业：

1、基础作业：

P5页习题1.11、2。

2、拓展作业：

《目标检测》3、预习作业：

P5-6页议一议

八、板书设计：

九、课后记：

§1.1、你能证明它们吗

（二）

一、教学目标：

1、进一步了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论。

3、能够用综合法证明等腰三角形的判定定理。

4、了解反证法的推理方法。

5、会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明问题。

二、教学重点：

正确叙述结论及正确写出证明过程。

熟悉作为证明基础的几条公理的内容，通过学习，掌握证明的基本步骤和书写格式。

教学难点：

等腰三角形的定理应用及由特殊结论归纳出一般结论。

三、教学方法：

探究式教学法自主探究与合作探究

四、教学过程：

复习回顾：

你知道等腰三角形具有怎样的性质吗?

、

探索——发现——猜想——证明

1、引导探索：

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线具有上述的性质，那么，两底角的平分线、两腰上的中线和高线又具有怎样的性质呢？

（提出问题，激发学生探究的欲望。

学生猜想）

2、探究中发现：

在等腰三角形中做出两底角的平分线，你会发现图中有那些相等的线段？

你能用文字叙述你的结论吗？

（学生动手画图、探索发现相等的线段并思考为什么相等）

3、证明：

（1）例1证明：

等腰三角形两底角的平分线相等。

（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证。

）

已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是

△ABC的角平分线。

求证：

BD＝CE（一生口述证明过程，然后写出证明过程。

）

证明：

（略）

此题还有其它的证法吗？

（2）你能证明等腰三角形两条腰上的中线相等吗？

高呢？

（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证并证明。

其它证法合作交流完成。

）

4、议一议1：

在上图的等腰△ABC中，如果∠ABD＝1/3∠ABC,∠ACE＝1/3∠ACB,那么BD＝CE吗？

如果∠ABD＝1/4∠ABC,∠ACE＝1/4∠ACB呢？

由此你能得到一个什么结论？

（根据图形引导学生分析归纳得出一般结论。

学生分组思考、交流，在充分讨论的基础上得出一般结论写出证明过程。

）

（3）如果AD＝1/2AC,AE＝1/2AB,那么BD＝CE吗？

如果AD＝1/3AC,AE＝1/3AB,呢？

由此你能得到一个什么结论？

议一议2：

把“等边对等角”反过来还成立吗？

你能证明？

定理证明

已知：

在ΔABC中∠B=∠C

求证：

AB=AC（引导学生证明定理）

方法如下：

（课堂小结1：

（1）归纳判定等腰三角形判定有几种方法,

（2）证明两条线段相等的方法有哪几种。

（讨论、交流）

随堂练习：

已知：

在ΔABC中，AB=AC，D在AB上，DE∥AC

求证：

DB=DE

（引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程。

）

想一想:

小明说，在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等,你认为这个结论成立吗?

如果成立,你能证明它?

证明P8

反证法的概念P8

课堂小结2：

通过这节课的学习你学到了什么知识？

了解了什么证明方法？

（学生小结：

掌握证明的基本步骤和书写格式。

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论。

等腰三角形的判定定理。

了解反证法的推理方法。

）

五、作业：

1、基础作业：

P9页习题1.21、2、3。

2、拓展作业：

《目标检测》

3、预习作业：

P10-12页做一做

六、板书设计：

七、课后记：

§1．1你能证明他们吗？

（第三课时）

一、教学目标：

1、进一步学习证明的基本步骤和书写格式。

2、掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理。

二、教学重点、难点：

关于综合法在证明过程中的应用。

三、教学过程：

温故知新

1、已知：

∠ABC,∠ACB的平分线相交于F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E

（1）找出图中的等腰三角形

（2）BD,CE,DE之间存在着怎样的关系？

（3）证明以上的结论。

2、复习关于反证法的相关知识

练习：

证明：

在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

（笔试，进一步巩固学习证明的基本步骤和书写格式）

学一学

1、探索问题：

①一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？

②你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？

你能证明你的思路吗？

（把你的思路与同伴进行交流。

）

定理：

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

2、做一做：

用两个含30°角的三角尺，能拼成一个怎样的三角形？

能拼成一个等边三角形吗？

说说你的理由。

由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？

能证明你的结论吗？

（提示学生根据两个三角尺拼出的图形发现结论，并证明）

证明：

在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则∠B=60°

延长BC至D,使CD=BC,连接AD

∵∠ACB=90°

∴∠ACD=90°

∵AC=AC

∴△ABC≌△ADC（SSS）

∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）

∴△ABD是等边三角形

∴BC=BD=AB

得到的结论：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

3、例题学习

等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高。

已知：

在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°

度，CD是腰AB上的高

求：

CD的长

解：

∵∠ABC=∠ACB=15°

∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°

∴CD=AC=×2a=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）

4、练习：

课本12页随堂练习1

四、课堂小结：

通过这节课的学习你学到了什么知识？

了解了什么证明方法？

（学生小结：

掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理）

五、作业：

1、基础作业：

P13页习题1.31、2、3题

2、拓展作业：

《目标检测》

3、预习作业：

P15-17页读一读“勾股定理的证明”

六、板书设计：

直角三角形（第一课时）

教学目标：

1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

2、了解勾股定理及其逆定理的证明方未能，能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理。

3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

教学过程：

引入：

我们曾经利用数方格和割补图形的方未能得到了勾股定理。

实际上，利用公理及其推导出的定理，我们能够证明勾股定理。

定理：

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，

延长CB至点D，使BD=b，作∠EBD=∠A，并取BE=c，连接ED、AE，则△ABC≌△BED。

∴∠BDE=90°，ED=a（全等三角形的对应角相等，对应边相等）。

∴四边形ACDE是直角梯形。

∴S梯形ACDE=（a+b）（a-b）=（a+b）2

∴∠ABE=180°-∠ABC-∠EBD=180°-90°=90°

AB=BE

∴S△ABC=c2

∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED,

∴（a+b）2=c2+ab+ab即a2+ab+b2=c2+ab+ab

∴a2+b2=c2

反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论，你能证明这个结论吗？

已知：

如图，在△ABC，AB2+AC2=BC2，求证：

△ABC是直角三角形。

证明：

作出Rt△A’B’C’，使∠A=90°，A’B’=AB，A’C’=AC，则

A’B’2+A’C’2=B’C’2（勾股定理