第12章整式的乘除知识点总结Word格式文档下载.docx
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(3)如果是二次根式或者整式作为底数时,要添加括号。
二、幂的乘方
1、法则:
(am)n=amn(m、n均为正整数)。
推广:
{[(am)n]p}s=amnps
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
如:
(2)3=2×
3=6;
[()3]4=()3×
4=()12;
[(a-b)2]4=(a-b)2×
4=(a-b)8
(2)运用时注意符号的变化。
(3)注意该法则的逆应用,即:
amn=(am)n,
a15=(a3)5=(a5)3
三、积的乘方
(ab)n=anbn(n为正整数)。
(acde)n=ancndnen
积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方,再把所得的幂相乘。
(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。
(2)3=222=42;
(×
)2=()2×
()2=2×
(-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3;
[(a+b)(a-b)]2=(a+b)2(a-b)2
anbn=(ab)n;
23×
33=(2×
3)3=63,
(x+y)2(x-y)2=[(x+y)(x-y)]2
四、同底数幂的除法
am÷
an=am-n(m、n均为正整数,m>n,a≠0)
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
4÷
3=4-3=;
(-2)5÷
(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4;
()6÷
()4=()6-4=()2=2;
(a+b)16÷
(a+b)14=(a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab+b2
(2)注意a≠0这个条件。
am-n=am÷
an;
ax-y=ax÷
ay,
(x+y)2a-3=(x+y)2a÷
(x+y)3
12.2整式的乘法
一、单项式与单项式相乘
法则:
单项式与单项式相乘,只要将它们的系数与系数相乘,相同字母的幂相乘,多余的字母照搬到最后结果中。
(-5a2b2)·
(-4b2c)·
(-ab)
=[(-5)×
(-4)×
(-)]·
(a2·
a)·
(b2·
b2)·
c
=-30a3b4c
二、单项式与多项式相乘
(乘法分配律)只要将单项式分别去乘以多项式的每一项,再将所得的积相加。
=(-3x2)·
(-x2)+(-3x2)·
2x一(-3x2)·
1
=
三、多项式与多项式相乘
(1)将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再将所得的积相加。
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
(2)把其中一个多项式看成一个整体(单项式),去乘以另一个多项式的每一项,再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘,最后将所得的积相加。
(m+n)(a+b)
=(m+n)a+(m+n)b
=ma+na+mb+nb
12.3乘法公式
一、两数和乘以这两数的差
1、公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2;
名称:
平方差公式。
(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19;
(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4x2y2-a2;
(a+b+)(a+b-)=(2xy)2-a2=4x2y2-a2;
(2)注意公式中的第一项、第二项各自相同,中间是“异号”的情况,才能用平方差公式。
(3)注意公式的来源还是“多项式×
多项式”。
二、完全平方公式
(a±
b)2=a2±
2ab+b2;
完全平方公式。
(+3)2
=()2+2×
×
3+32
=2+6+9
=11+6;
(mn-a)2=(mn)2-2mn·
a+a2=m2n2-2mna+a2;
(a+b-)2
=(a+b)2-2(a+b)+2
=a2+2ab+b2-2a-b+2;
(2)注意公式运用时的对位“套用”;
(3)注意公式中“中间的乘积项的符号”。
3、补充公式:
(a+b+c)2=a2+c2+b2+2ab+2bc+2ca
特别提醒:
利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是:
“一看二套三计算”。
12.4整式的除法
一、单项式除以单项式
单项式相除,只要将它们的系数与系数相除,相同字母的幂相除,只在被除式中出现的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。
-21a2b3c÷
3ab
=(-21÷
3)·
a2-1·
b3-1·
=-7ab2c
(2x2y)3·
(-7xy2)÷
14x4y3
=8x6y3·
14x4y3
=[8×
(-7)]·
x6+1y3+2÷
=(-56÷
14)·
x7-4·
y5-3=-4x3y2
5(2a+b)4÷
(2a+b)2
=(5÷
1)(2a+b)4-2
=5(2a+bz2=5(4a2+4ab+b2)
=20a2+20ab+5b2
二、多项式除以单项式
(乘法分配律)只要将多项式的每一项分别去除以单项式,再将所得的商相加。
(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷
(-7x2y)
=21x4y3÷
(-7x2y)-35x3y2÷
(-7x2y)+7x2y2÷
=-3x2y2+5xy-y
[4y(2x-y)-2x(2x-y)]÷
(2x-y)
=4y(2x-y)÷
(2x-y)-2x(2x-y)]÷
=4y-2x
◇整式的运算顺序:
先乘方(开方),再乘除,最后加减,括号优先。
12.5因式分解
一、因式分解的定义:
把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解。
(分解因式)
因式分解与整式乘法互为逆运算
二、提取公因式法:
把一个多项式的公因式提取出来,使多项式化为两个因式的积,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
△公因式定义:
多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。
△具体步骤:
(1)“看”。
观察各项是否有公因式;
(2)“隔”。
把每项的公因式“隔离”出来;
(3)“提”。
按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来,使多项式化为两个因式的积。
△(a-b)2n=(b-a)2n(n为正整数);
(a-b)2n+1=-(b-a)2n+1(n为正整数);
8a2b-4ab+2a
=2a·
4ab-2a·
2b+2a·
=2a(4ab-2b+1);
-5a2+25a
=-5a·
a+5a·
5
=-5a(a+5)
(注意:
凡给出的多项式的“首项为负”时,要连同“-”号与公因式一并提出来。
)
三、公式法:
利用乘法公式进行因式分解的方法,叫做公式法。
1、平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b);
△注意事项:
102-92=(10+9)(10-9)=19×
1=19;
4x2y2-a2=(2xy)2-a2=(2xy+a)(2xy-a);
(3)注意公式的结构好形式,运用时一定要判断准确。
2、完全平方公式:
m2n2-2mna+a2=(mn)2-2mn·
a+a2=(mn-a)2;
x2+4xy+y2
=x2+2·
x·
2y+(2y)2
=(x+2y)2
四、补充分解法:
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。
x2+5x+6
=x2+(2+3)x+2×
3=(x+2)(x+3);
x2+5x-6
=x2+[6+(-1))]x+6×
(-1)=
(x+6)(x-1)
2、“十字相乘法”
=(x+2)(x+7)=(x+2)(x-4)
1212
171-4
2+7=92+(-4)=-2
五、综合
1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是:
“一看二套三分解”。
2、遇到因式分解的题目时,其整体的思维顺序是:
(1)看首项是否为“一”,若为“一”,就要注意提负号;
(2)看各项是否有公因式,若有公因式,应该首先把公因式提取出来再说;
(3)没有公因式时,就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。
3、注意事项:
(1)注意(a-b)与(b-a)的关系是互为相反数;
(2)因式分解要彻底,不要只提出公因式就完,还要看剩下的因式是否可以继续分解;
(3)现阶段的因式分解的题目,一般都要求在有理数范围内分解,所以不能出现带根号的数;
(4)注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解,不要乱用此法。