高中数学12任意角的三角函数122单位圆与三角函数线优化训练新人教B版必修Word下载.docx

高中数学12任意角的三角函数122单位圆与三角函数线优化训练新人教B版必修Word下载.docx

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图1-1-2图1-1-3

根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出.

cosαsinαtanα

4.如图1-1-3，分别作出角β的正弦线、余弦线、正切线,并比较角β的正弦值、余弦值、正切值的大小.

解：

根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出下图.

正弦线、余弦线、正切线分别是、、，并且sinβ＞cosβ＞tanβ.

10分钟训练（强化类训练，可用于课中）

1.若-＜α＜，从单位圆中的三角函数线观察sinα、cosα、tanα的大小是（）

图1-1-4

A.sinα＜tanα＜cosαB.tanα＜sinα＜cosα

C.cosα＜sinα＜tanαD.sinα＜cosα＜tanα

在单位圆中，作出＜α＜内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线，

||＜||＜||，考虑方向可得＜＜.

D

2.若角α的正切线位于第一象限，则角α属于（）

A.第一象限B.第一、二象限

C.第三象限D.第一、三象限

由正切线的定义知，当角α是第一、三象限角时，正切线都在第一象限.

3.在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围为（）

A.（，）∪（π，）B.（，π）

C.（，）D.（，π）∪（，）

在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在（0，2π）内sinx＞cosx，则x∈（，）.

4.如果cosα=cosβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（）

A.关于x轴对称B.关于y轴对称

C.关于直线y=x对称D.关于原点对称

利用单位圆中的余弦线即得，如图.

A

5.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.

证明：

当角α的终边在坐标轴上时，正弦线（余弦线）变成一个点，而余弦线（正弦线）的长等于r（r=1），所以|sinα|+|cosα|=1，当角α的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|+|cosα|=|MP|+|OM|＞1，综上有|sinα|+|cosα|≥1.

6.设＜α＜π，角α的正弦线、余弦线、正切线的数量分别为a、b、c，由图比较a、b、c的大小.

如图所示，|MP|＜|OM|＜|AT|，而a=|MP|，b=-|OM|，c=-|AT|，∴a＞b＞c.

30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）

1.（xx安徽合肥统考，1）sin4·

tan7的值（）

A.大于0B.小于0C.等于0D.不大于0

4弧度的角是第三象限角，7弧度的角是第一象限角，由单位圆中的正弦线和正切线知sin4＜0，tan7＞0，所以sin4·

tan7＜0.

2.若θ∈（0,）,则sinθ+cosθ的一个可能值是（）

A.B.C.D.1

由θ∈（0，）知sinθ+cosθ＞1，A、B、C、D四个选项中仅有＞1，故选C.

答案:

3.适合cosα≥的角α的集合是（）

A.［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）B.［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）

C.［2kπ-，2kπ+］（k∈Z）D.［2kπ+，2kπ-］（k∈Z）

在单位圆中作图，如图，α的范围是2kπ-≤α≤2kπ+.

4.若sinα=sinβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（）

利用单位圆中的正弦线即得，如图.

5.分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:

（1）；

（2）.

如图,正弦线：

，余弦线：

，正切线：

.

（1）

（2）

6.利用三角线，求满足sinx≤的角x的集合.

由图可知，值为的正弦线和，易得出∠M1OP1=，∠M2OP2=，故满足sinx≤的x的集合为｛x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z｝.

7.求函数y=的定义域.

如图，因为1-2cosx≥0，所以cosx≤，

所以x∈［2kπ+，2kπ+］（k∈Z）.

8.已知关于x的方程（2sinα-1）x2-4x+4sinα+2=0有两个不相等的正根，试求角α的取值范围.

设方程的两根为x1、x2，这个方程有两个不相等正根必满足的条件为

即

化简得

故＜sinα＜.

利用三角函数线，在单位圆中标出满足条件的角α的终边位置，即图中两阴影部分的交集，故2kπ+＜α＜2kπ+或2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z，即α的取值范围是{α|2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z}∪{α|2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z}.

9.设α是第二象限的角，作α的正弦线、余弦线、正切线，由图证明cos2α+sin2α=1.

如图，=cosα，=sinα，在Rt△MOP中，|OM|2+|MP|2=｜OP｜2=1，

所以cos2α+sin2α=1.

10.设α为任意角，求|sinα|+|cosα|的取值范围.

由正弦线、余弦线及三角形三边关系，可知|sinα|+|cosα|的取值范围为［1，］.

11.已知α∈（0，），求证：

sinα＜α＜tanα.

在单位圆中，利用三角函数线的定义，有=sinα，=tanα.又由α=，

显然S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即·

·

＜·

.化简得＜α＜，所以sinα＜α＜tanα.

2019-2020年高中数学1.2任意角的三角函数1.2.2单位圆与三角函数线同步训练新人教B版必修

知识点一：

单位圆与三角函数线

1．下列判断中错误的是

A．α一定时，单位圆中的正弦线一定

B．单位圆中，有相同正弦线的角相等

C．α和2π＋α具有相同的正切线

D．具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上

2．已知角α的终边和单位圆的交点为P，则点P的坐标为

A．（sinα，cosα）B．（cosα，sinα）

C．（sinα，tanα）D．（tanα，sinα）

3．如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是

A．正弦线P，正切线

B．正弦线M，正切线

C．正弦线M，正切线

D．正弦线P，正切线A

4．对三角函数线，下列说法正确的是

A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线

B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在

C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在

D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在

5．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边在__________.

知识点二：

三角函数线的简单应用

6．依据三角函数线，作出如下四个判断：

①sin＝sin；

②cos（－）＝cos；

③tan>

tan；

④sin>

sin.其中判断正确的有

A．1个B．2个

C．3个D．4个

7．在（0,2π）内，使sinα>

cosα成立的α的取值范围为

A．（，）∪（π，）

B．（，π）

C．（，）

D．（，π）∪（，）

8．若角α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是

A．sinα＋cosαB．tanα＋sinα

C．cosα－tanαD．sinα－tanα

9．借助三角函数线比较下列各组值的大小．（由大到小排列）

（1）sin，sin，sin：

__________；

（2）cos，cos，cos：

（3）tan，tan，tan：

__________.

10．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：

（2）－.

能力点一：

利用三角函数线比较三角函数值大小

11．如果0<

α<

，那么下列不等式成立的是

A．cosα<

sinα<

tanαB．tanα<

cosα

C．sinα<

cosα<

tanαD．cosα<

tanα<

sinα

12．若－<

－，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小是__________．

13．用三角函数线比较sin1和cos1的大小结果是__________．

能力点二：

利用三角函数线确定角的范围

14．使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是

A．[－，]B．[－，]

C．[－，]D．[0，π]

15．角α（0<

2π）的正弦线和余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为

A.或B.或

C.或D.或

16．y＝的定义域为__________．

17．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合：

（1）sinα≥；

（2）cosα≤－.

能力点三：

三角函数线的综合应用

18．已知点P（sinα－cosα，tanα）在第一象限内，若α∈[0,2π），求α的取值范围．

19．当α＝3rad时，利用三角函数线分析点P（sin3－cos3，sin3＋cos3）在第几象限．

20．求函数y＝＋lg（2cosx－1）的定义域．

21．利用三角函数线证明若0<

β<

，则有β－α>

sinβ－sinα.

答案与解析

基础巩固

1．B　2.B　3.C　4.D　5.y轴上

6．B　分别作出各个角的三角函数线，由图知sin＝－sin，cos（－）＝cos，tan<

tan，sin>

sin，故②④正确．

7．C　当α的终边在直线y＝x上时，直线y＝x与单位圆的交点为（，），（－，－）．

此时，α＝和，如图所示．

当α∈（，）时，恒有MP>

OM，

而当α∈（0，）∪（，2π）时，

则有MP<

OM，因此选C.

8．B　如下图，作出sinα、cosα、tanα的三角函数线，显然△OPM∽△OTA，且|MP|<

|AT|，

∵MP>

0，AT<

0，

∴MP<

－AT.

∴MP＋AT<

0，即sinα＋tanα<

0.

9．

（1）sin>

sin>

sin

（2）cos>

cos>

cos

（3）tan>

tan>

tan

10．解：

作图如下．

（1）

所以，的正弦线为M，余弦线为O，正切线为A.

（2）

所以，－的正弦线为M，余弦线为O，正切线为A.

能力提升

11．C

12．tanα>

cosα>

13．sin1>

cos1

14．A

15．C

16．[2kπ－，2kπ＋]（k∈Z）　由函数有意义，x需满足1＋2cosx≥0，即cosx≥－.

根据单位圆中的三角函数线，可得满足条件的角x的范围是2kπ－≤x≤2kπ＋（k∈Z）．

17．解：

（1）作直线y＝交单位圆于A、B两点