高考数学复习同步练习 第4讲直线平面平行的判定及其性质.docx

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高考数学复习同步练习第4讲直线平面平行的判定及其性质

第4讲直线、平面平行的判定及其性质

一、选择题

1．若直线m⊂平面α，则条件甲：

“直线l∥α”是条件乙：

“l∥m”的（　　）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　D

2．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是（　　）

A．一定平行B．不平行

C．平行或相交D．平行或在平面内

解析直线在平面内的情况不能遗漏，所以正确选项为D.

答案　D

3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是（　　）．

A．l∥αB．l⊥α

C．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α

解析　l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．

答案　D

4．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（　　）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2

C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2

解析　对于选项A，不合题意；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B；对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意，综上选B.

答案　B

5．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的（　　）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析　如图所示，由于α2∥α3，同时被第三个平面P1P3N所截，故有P2M∥P3N.再根据平行线截线段成比例易知选C.

答案　C

6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（　　）．

A．①③B．②③C．①④D．②④

解析　对于图形①：

平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP，对于图形④：

AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP，图形②、③都不可以，故选C.

答案　C

二、填空题

7．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

解析　过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．

答案　6

8．α、β、γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：

①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________（把所有正确的题号填上）．

解析　①中，a∥γ，a⊂β，b⊂β，β∩γ＝b⇒a∥b（线面平行的性质）．③中，b∥β，b⊂γ，a⊂γ，β∩γ＝a⇒a∥b（线面平行的性质）．

答案　①③

9．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．

①若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；

②若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；

③已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β；

④若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行．

解析　①为假命题，②为真命题，在③中，n可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m、n也可能异面，故为假命题．

答案　②

10．对于平面α与平面β，有下列条件：

①α、β都垂直于平面γ；②α、β都平行于平面γ；③α内不共线的三点到β的距离相等；④l，m为两条平行直线，且l∥α，m∥β；⑤l，m是异面直线，且l∥α，m∥α；l∥β，m∥β，则可判定平面α与平面β平行的条件是________（填正确结论的序号）．

解析　由面面平行的判定定理及性质定理知，只有②⑤能判定α∥β.

答案　②⑤

三、解答题

11．如图，在四面体A－BCD中，F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，G为DE的中点．证明：

直线HG∥平面CEF.

证明　法一　如图，连接BH，BH与CF交于K，连接EK.

∵F、H分别是AB、AC的中点，

∴K是△ABC的重心，

∴＝.

又据题设条件知，＝，

∴＝，∴EK∥GH.

∵EK⊂平面CEF，GH⊄平面CEF，

∴直线HG∥平面CEF.

法二　如图，取CD的中点N，连接GN、HN.

∵G为DE的中点，∴GN∥CE.

∵CE⊂平面CEF，GN⊄平面CEF，∴GN∥平面CEF.

连接FH，EN

∵F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，

∴FH綉BC，EN綉BC，∴FH綉EN，

∴四边形FHNE为平行四边形，∴HN∥EF.

∵EF⊂平面CEF，HN⊄平面CEF，

∴HN∥平面CEF.HN∩GN＝N，

∴平面GHN∥平面CEF.

∵GH⊂平面GHN，∴直线HG∥平面CEF.

12．如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．

（1）求证：

E，B，F，D1四点共面；

（2）求证：

平面A1GH∥平面BED1F.

证明　

（1）∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2，

∴BG綉A1E，∴A1G綉BE.

又同理，C1F綉B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形，

∴FG綉C1B1綉D1A1，∴四边形A1GFD1是平行四边形．

∴A1G綉D1F，∴D1F綉EB，

故E、B、F、D1四点共面．

（2）∵H是B1C1的中点，∴B1H＝.

又B1G＝1，∴＝.

又＝，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，

∴△B1HG∽△CBF，∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，

∴HG∥FB.

又由

（1）知A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，

FB∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F.

13．一个多面体的直观图及三视图如图所示：

（其中M、N分别是AF、BC的中点）．

（1）求证：

MN∥平面CDEF；

（2）求多面体A－CDEF的体积．

解　由三视图可知：

AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝2，∠CBF＝.

（1）证明：

取BF的中点G，连接MG、NG，由M、N分别为AF、BC的中点可得，NG∥CF，MG∥EF，

∴平面MNG∥平面CDEF，

又MN⊂平面MNG，

∴MN∥平面CDEF.

（2）取DE的中点H.

∵AD＝AE，∴AH⊥DE，

在直三棱柱ADE－BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，

平面ADE∩平面CDEF＝DE.

∴AH⊥平面CDEF.

∴多面体A－CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH＝.S矩形CDEF＝DE·EF＝4，

∴棱锥A－CDEF的体积为V＝·S矩形CDEF·AH＝×4×＝.

14．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

（1）求证：

AE⊥BE；

（2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.

（1）证明　∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，

∴BC⊥平面ABE，

又AE⊂平面ABE，则AE⊥BC.

又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ABE，

∴AE⊥BF，

又BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE，

又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.

（2）解　在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连接MN，则由比例关系易得CN＝CE.

∵MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，

∴MG∥平面ADE.

同理，GN∥平面ADE.

又∵GN∩MG＝G，∴平面MGN∥平面ADE.

又MN⊂平面MGN，

∴MN∥平面ADE.

∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.

第5讲直线、平面垂直的判定及其性质

一、选择题

1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　）．

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m

答案　B

2．已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（　　）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析　由面面垂直的判定定理，知m⊥β⇒α⊥β.

答案　B

3．已知P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是（　　）．

A．PA＝PB＝PC

B．PA⊥BC，PB⊥AC

C．点P到△ABC三边所在直线的距离相等

D．平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等

解析　条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心的必要条件，故选B.

答案　B

4.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在

（　　）．

A．直线AB上　　B．直线BC上

C．直线AC上　　D．△ABC内部

解析　由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．

答案　A

5．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（　　）．

A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α

B．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α

C．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α

D．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β

解析　与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故A错；对B，存在n∥α情况，故B错；对D，存在α∥β情况，故D错．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正确，选C.

答案　C

6．如图（a），在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图（b）所示，那么，在四面体A－EFH中必有（　　）．

A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面

C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面

解析　折成的四面体有AH⊥EH，AH⊥FH，

∴AH⊥面HEF.

答案　A

二、填空题

7.如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是________．

解析　折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直，因此折痕与桌面垂直．

答案　垂直

8．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β.给出下列命题：

①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.

其中正确命题的序号是________．

解析　由面面平行的性质和线面垂直的定义可知①正确；因为l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，所以l，m平