高考数学文通用版二轮精准提分练习第2篇 第29练 压轴小题突破练2Word文档格式.docx

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（－）

＝－－＝－.

故选C.

2.已知P是△ABC所在平面内一点，若＝－，则△PBC与△ABC的面积的比为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

解+析　在线段AB上取D使AD＝AB，则＝－，过A作直线l使l∥BC，在l上取点E使＝，过D作l的平行线，过E作AB的平行线，设交点为P，

则由平行四边形法则可得＝－，

设△PBC的高为h，△ABC的高为k，由三角形相似可得h∶k＝1∶3，

∵△PBC与△ABC有公共的底边BC，

∴△PBC与△ABC的面积的比为，故选A.

3.（2017·

江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1,1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°

.若＝m＋n（m，n∈R），则m＋n＝________.

答案　3

解+析　如图，过点C作CD∥OB交OA的延长线于点D.

设＝m，＝n，则在△ODC中有OD＝m，

DC＝n，OC＝，∠OCD＝45°

，

由tanα＝7，得cosα＝，

又由余弦定理知，

即

①＋②得4－2n－m＝0，即m＝10－5n，代入①得12n2－49n＋49＝0，解得n＝或n＝，当n＝时，m＝10－5×

＝－<

0（舍去），当n＝时，m＝10－5×

＝，故m＋n＝＋＝3.

4.已知＝（1,0），＝（1,1），（x，y）＝λ＋μ.若0≤λ≤1≤μ≤2时，z＝＋（m＞0，n＞0）的最大值为2，则m＋n的最小值为____________.

答案　＋

解+析　（x，y）＝λ＋μ＝（λ＋μ，μ）⇒λ＝x－y，μ＝y，

所以0≤x－y≤1≤y≤2，可行域为一个平行四边形及其内部，由直线z＝＋斜率小于零知直线z＝＋过点（3,2）取最大值，即＋＝2，

因此m＋n＝（m＋n）＝≥＝＋，

当且仅当＝时取等号.

考点二　与解+析几何有关的压轴小题

方法技巧　求圆锥曲线范围，最值问题的常用方法

（1）定义性质转化法：

利用圆锥曲线的定义性质进行转化，根据平面几何中的结论确定最值或范围.

（2）目标函数法：

建立所求的目标函数，将所求最值转化为函数最值解决.

（3）条件不等式法：

找出与变量相关的所有限制条件，然后再通过解决不等式（组）求变量的范围.

5.已知F1，F2是椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°

，则C的离心率为（　　）

A.B.

C.D.

答案　D

解+析　如图，作PB⊥x轴于点B.

由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，

由∠F1F2P＝120°

可得|PB|＝，|BF2|＝1，

故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，

tan∠PAB＝＝＝，

解得a＝4，

所以e＝＝.

故选D.

6.已知F1（－c,0），F2（c,0）为椭圆＋＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆上一点且·

＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是（　　）

解+析　设P（m，n），则·

＝（－c－m，－n）·

（c－m，－n）＝m2－c2＋n2＝c2，

∴2c2－m2＝n2.①

把P（m，n）代入＋＝1，得＋＝1，②

①代入②得m2＝≥0，

∴a2b2≤2a2c2，即b2≤2c2，

又a2＝b2＋c2，∴a2≤3c2，即e＝≥.

又m2＝≤a2，即a2≥2c2，即e＝≤，

∴椭圆离心率的取值范围是.

7.已知F是抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·

＝2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值为（　　）

A.2B.3C.D.

答案　B

解+析　设直线AB的方程为x＝ty＋m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m,0），联立得y2－ty－m＝0，

根据根与系数的关系有y1y2＝－m，

∵·

＝2，

∴x1x2＋y1y2＝2，结合y＝x1，y＝x2，

得（y1y2）2＋y1y2－2＝0，∵点A，B位于x轴的两侧，

∴y1y2＝－2，故m＝2，

不妨设点A在x轴上方，则y1>

0，又F，

∴S△ABO＋S△AFO＝×

2×

（y1－y2）＋×

×

y1＝y1＋≥2＝3，当且仅当y1＝，即y1＝时，取等号，

∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3.

8.如图，抛物线y2＝4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使＝，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则的最小值为__________________.

答案　4

解+析　设点A，B的坐标为A（xA，yA），B（xB，yB），

由题意可知＝＋

＝2≥2

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k（x－1），联立得ky2－4y－4k＝0，

由根与系数的关系，得yAyB＝－4，由此可知|EG|≥4，当且仅当时等号成立，

即的最小值为4.

当直线AB的斜率不存在时，直线AB：

x＝1，此时A（1，－2），B（1,2），所以C（2，－4），D，即G（0,1），

E（0，－4），所以|EG|＝5.

综上，|EG|的最小值为4.

考点三　与推理证明有关的压轴小题

方法技巧　推理证明问题考查学生逻辑推理能力，属于较难题，考试形式往往为

（1）以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.

（2）“新定义”问题题型较为新颖，所包含的信息丰富，能较好地考查学生分析问题、解决问题的能力，越来越受到关注和重视.

9.给出以下数对序列：

（1,1）

（1,2）（2,1）

（1,3）（2,2）（3,1）

（1,4）（2,3）（3,2）（4,1）

…

若第i行的第j个数对为aij，如a43＝（3,2），则anm等于（　　）

A.（m，n－m＋1）B.（m－1，n－m）

C.（m－1，n－m＋1）D.（m，n－m）

解+析　方法一　由前4行的特点，归纳可得：

若anm＝（a，b），则a＝m，b＝n－m＋1，∴anm＝（m，n－m＋1）.

方法二　赋值法，令m＝n＝1，则anm＝a11＝（1,1），分别代入选项A，B，C，D，只有A结果为（1,1）符合题意.

10.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：

有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为n，则n等于（　　）

A.7B.8C.11D.15

解+析　由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个盘子不同时操作的次数（23－1）要多，比四个s盘子不同时操作的次数（24－1）要少，相当于与操作三个不同盘子的时候相比，最上面的那个动了几次，就会增加几次，故游戏结束需要移动的最少次数为11.

11.学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：

甲说：

“C或D作品获得一等奖”；

乙说：

“B作品获得一等奖”；

丙说：

“A，D两项作品未获得一等奖”；

丁说：

“C作品获得一等奖”.

若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是__________.

解+析　若甲同学说的话是对的，则C作品获得一等奖时，丙、丁两位说的话也是对的，D作品获得一等奖时，只有甲说的话是对的，不符合题意；

若丁同学说的话是对的，则甲、丙两位说的话也是对的，所以只有乙、丙两位说的话是对的，所以获得一等奖的作品是B.

12.给出定义：

设f′（x）是函数y＝f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”.已知函数f（x）＝3x＋4sinx－cosx的拐点是M（x0，f（x0）），则点M在直线________上.

答案　y＝3x

解+析　f′（x）＝3＋4cosx＋sinx，f″（x）＝－4sinx＋cosx，4sinx0－cosx0＝0，所以f（x0）＝3x0，

故M（x0，f（x0））在直线y＝3x上.

1.（2018·

天津）在如图所示的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°

，＝2，＝2，则·

A.－15B.－9C.－6D.0

解+析　如图，连接MN.

∵＝2，

∴＝＝，

∴MN∥BC，且＝，

∴＝3＝3（－），

＝3（·

－2）＝3（2×

1×

cos120°

－12）＝－6.

2.已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f（x）＝2x3＋3|a|x2＋6a·

bx＋7在实数集R上单调递增，则向量a，b的夹角的取值范围是（　　）

解+析　求导可得f′（x）＝6x2＋6|a|x＋6a·

b，则由函数f（x）＝2x3＋3|a|x2＋6a·

bx＋7在实数集R上单调递增，可得f′（x）＝6x2＋6|a|x＋6a·

b≥0在R上恒成立，即x2＋|a|x＋a·

b≥0恒成立，

故判别式Δ＝a2－4a·

b≤0，

再由|a|＝2|b|≠0，可得8|b|2≤8|b|2cos〈a，b〉，

∴cos〈a，b〉≥，

又∵〈a，b〉∈[0，π]，

∴〈a，b〉∈.

3.（2018·

重庆诊断）设集合A＝{（x，y）|（x＋3sinα）2＋（y＋3cosα）2＝1，α∈R}，B＝{（x，y）|3x＋4y＋10＝0}，记P＝A∩B，则点集P所表示的轨迹长度为（　　）

A.2B.2

C.4D.4

解+析　由题意得圆（x＋3sinα）2＋（y＋3cosα）2＝1的圆心（－3sinα，－3cosα）在圆x2＋y2＝9上，当α变化时，该圆绕着原点转动，集合A表示的区域是如图所示的环形区域（阴影部分所示）.

由于原点（0,0）到直线3x＋4y＋10＝0的距离为d＝＝2，所以直线3x＋4y＋10＝0恰好与圆环的小圆相切.

所以P＝A∩B表示的是直线3x＋4y＋10＝0截圆环的大圆x2＋y2＝16所得的弦长.

故点集P所表示的轨迹长度为2＝4.

4.已知点M（1,0），A，B是椭圆＋y2＝1上的动点，且·

＝0，则·

的取值范围是（　　）

A.B.[1,9]

解+析　设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x1－1，y1），＝（x2－1，y2），＝（x1－x2，y1－y2），

由题意有·

＝（x1－1）（x2－1）＋y1y2＝0，

所以·

＝（x1－1）（x1－x2）＋y1（