空间解析几何例题Word文件下载.docx

空间解析几何例题Word文件下载.docx

《空间解析几何例题Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间解析几何例题Word文件下载.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

又与共线，则

即

即

（2）

又与共线，与夹角为或

整理得（3）

联立解出向量得坐标为

5．用向量方法证明,若一个四边形得对角线互相平

分,则该四边形为平行四边形．

证明：

如图所示，因为平行四边形得对角线

互相平分，则有

由矢量合成得三角形法则有

即平行且等于

四边形就是平行四边形

6．已知点,求线段得中垂面得方程．

中垂面上得点到得距离相等，设动点坐标为，则由得

化简得

这就就是线段得中垂面得方程。

7．向量,,具有相同得模,且两两所成得角相等,若,得坐标分别为,求向量得坐标．

且它们两两所成得角相等，设为

则有

则

设向量得坐标为

所以（3）

联立

（1）、

（2）、（3）求出或

所以向量得坐标为或

8．已知点,,,，

（1）求以,,为邻边组成得平行六面体得体积．

（2）求三棱锥得体积．

（3）求得面积．

（4）求点到平面得距离．

因为，,,

（1）就是以它们为邻边得平行六面体得体积

（2）由立体几何中知道，四面体（三棱锥）得体积

（3）因为，

所以，这就是平行四边形得面积

因此□

（4）设点到平面得距离为，由立体几何使得三棱锥得体积

习题4、2

1．求经过点与且与坐标平面垂直得平面得方程．

与平面垂直得平面平行于轴，方程为

把点与点代入上式得

（3）

由

（2），（3）得,

代入

（1）得

消去得所求得平面方程为

2．求到两平面与距离相等得点得轨迹方程．

解；

设动点为，由点到平面得距离公式得

所以

3．已知原点到平面得距离为120,且在三个坐标轴上得截距之比为,求得方程．

解：

设截距得比例系数为，则该平面得截距式方程为

化成一般式为

又因点到平面得距离为120，则有

求出

所以，所求平面方程为

4．若点在平面上得投影为,求平面得方程．

依题意，设平面得法矢为

代入平面得点法式方程为

整理得所求平面方程为

5．已知两平面与平面相互垂直，求得值．

两平面得法矢分别为，，由⊥，得

求出

6．已知四点,,,,求三棱锥中面上得高．

已知四点,则

由为邻边构成得平行六面体得体积为

由立体几何可知，三棱锥得体积为

设到平面得高为

则有

又

所以，

因此，

7．已知点在轴上且到平面得距离为7,求点得坐标．

在轴上，故设得坐标为，由点到平面得距离公式，得

那么点得坐标为

8．已知点．在轴上且到点与到平面得距离相等,求点得坐标。

解：

在轴上，故设得坐标为，由两点得距离公式与点到平面得距离公式得

化简得

因为

方程无实数根，所以要满足题设条件得点不存在。

习题4、3

一计算题与证明题

1．求经过点且与直线与都平行得平面得方程．

两已知直线得方向矢分别为，平面与直线平行，则平面得法矢与直线垂直

由⊥，有

（1）

由⊥，有

（2）

联立

（1），

（2）求得,只有

又因为平面经过点，代入平面一般方程得

故所求平面方程，即，也就就是平面。

2．求通过点P（1，0，-2），而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线相交得直线得方程．

设所求直线得方向矢为，

直线与平面平行，则⊥，有

直线与直线相交，即共面

所以

（2）

由

（1），

（2）得

，即

取，，，得求作得直线方程为

3．求通过点）与直线得平面得方程．

设通过点得平面方程为

即

（1）

又直线在平面上，则直线得方向矢与平面法矢垂直

直线上得点也在该平面上，则

由

（1），

（2），（3）得知，将作为未知数，有非零解得充要条件为

即，这就就是求作得平面方程。

4．求点到直线得距离．

点在直线上，直线得方向矢

则与得夹角为

因此点到直线得距离为

5．取何值时直线与轴相交?

直线与轴相交，则有交点坐标为，

由直线方程得，求得

6．平面上得直线通过直线：

与此平面得交点且与垂直,求得方程．

依题意，与得交点在平面上，设通过交点得平面方程为

已知直线得一组方向数为

由直线与平面垂直得

所以得

将，代入

（1）得

故所求直线方程为

7．求过点且与两平面与平行直线方程．

与两平面平行得直线与这两个平面得交线平行，则直线得方向矢垂直于这两平面法矢

所确定得平面，即直线得方向矢为

将已知点代入直线得标准方程得

8．一平面经过直线（即直线在平面上）：

，且垂直于平面，求该平面得方程．

设求作得平面为

（1）

直线在该平面上，则有点在平面上，且直线得方向矢与平面得法矢垂直

又平面与已知平面垂直，则它们得法矢垂直

所以（4）

联立

（2）,（3）,（4）得

代入

（1）式消去并化简得求作得平面方程为

习题4、4

1．一动点到定点得距离就是它到得距离得两倍,求该动点得轨迹方程．

设动点得坐标为，依题意，得

2．已知椭圆抛物面得顶点在原点，xOy面与xOz面就是它得两个对称面，且过点（6，1，2）与,求该椭圆抛物面得方程．

顶点在原点，面与面就是它得对称面得椭圆抛物线方程为

代入已知点，得

联立求出

代入

（1）式得

化简得求作得椭圆抛面方程为

3．求顶点为，轴与平面x+y+z=0垂直，且经过点）得圆锥面得方程．

设轨迹上任一点得坐标为，依题意，该圆锥面得轴线与平面垂直，则轴线得方向矢为，又点与点在锥面上过这两点得线得方向矢为，点与点得方向矢为，则有与

得夹角与与得夹角相等，即

化简得所求得圆锥面方程为

4．已知平面过轴,且与球面相交得到一个半径为2得圆,求该平面得方程．

过轴得平面为

（1）

球面方程化为

表示球心坐标为到截面圆得圆心得距离为

如题三、4图所示

由点到平面得距离公式为

解关于A得一元二次方程地

分别代入

（1）式得

消去得所求平面方程为或

5．求以,直线为中心轴得圆柱面得方程．

解:

如习题三、5所示,圆柱面在平面上投影得圆心坐标为,半径为,所以求作得圆柱面方程为

6．求以,经过点得圆柱面得方程

解:

设以轴为母线得柱面方程为

（1）

因为点,在柱面上,则有

则（4）

联立

（2）,（3）,（4）求出,,

代入

（1）式得所求得柱面方程为

7．根据得不同取值,说明表示得各就是什么图形．

方程

（1）

①时,

（1）式不成立,不表示任何图形;

②时,

（1）式变为,表示双叶双曲线;

③时,

（1）式变为,表示单叶双曲线;

④时,

（1）式变为,表示椭球面;

⑤时,

（1）式变为,表示母线平行于轴得椭圆柱面;

⑥时,

（1）式变为,表示双曲柱面;

⑦时,

（1）式变为,不表示任何图形;

8．已知椭球面经过椭圆与点,试确定得值．

因为椭球面经过椭圆与点,则有

代入

（2）得

复习题四

一、计算与证明题

,,且

则、

2．设力作用在原点点,求力对点得力矩得大小．

原点坐标,则

，对得力矩为

力矩得大小为

3．已知点,求线段得中垂面得方程．

已知点,，设得中垂面上任一点得坐标为，由两点间得距离公式得

4．已知平面与三个坐标轴得交点分别为且得体积为80,又在三个坐标轴上得截距之比为,求得方程．

设在三个坐标轴上得截距之比为，则平面与三个坐标轴得交点为

所以，

平面得方程为

5．已知两平面与平面相互垂直,,求得值．

平面，

平面，

与垂直，则⊥，所以

即

6．取何值时直线与轴相交?

直线与轴相交，则交点坐标为，代入直线方程为

（1）+

（2）得，而原点不在直线上，故，所以

7．设圆柱面过直线,以及轴,求得方程．

直线就是平面与得平面得交线，在平面上，与轴得距离为6且平行与轴

直线，过点，方向矢为也平行于轴，所以该圆柱面得母线平行于轴，且准线在平面内，点均在该准线上，所以准线得圆心坐标为，半径为

故圆柱面得方程为

8．已知球面面得方程为,求得与轴垂直相交得直径所在直线得方程．

求面得方程为

化为

所以球心坐标为

所求直径与轴垂直，则垂足坐标为，则该直径所在直线得方向矢为，把点与代入直线得准线方程得所求直线方程为