高等代数第四章线性变换.docx
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高等代数第四章线性变换
.
第四章线性变换
习题精解
1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1）在线性空间V中，A
其中
V是一固定的向量；
2）在线性空间V中，A
其中
V是一固定的向量；
3）在P3中，A（x1,x2,x3）
（x12,x2
x3,x32）；
4）在P3中，A（x1,x2,x3）
（2x1
x2,x2
x3,x1）；
5）在P[x]中，Af（x）
f（x1）
6）在P[x]中，Af（x）
f（x0）,其中x0
P是一固定的数；
7）把复数域上看作复数域上的线性空间，
A
8）在Pnn中，AX=BXC
其中B,C
Pn
n是两个固定的矩阵.
解1）当
0时,是;当
0时,不是.
2）当
0时,是;当
0时,不是.
3）不是.例如当
（1,0,0）,k
2时,kA（
）
（2,0,0）
A（k）（4,0,0）,
A（k）
kA（）.
4）是.因取
（x1,x2,x3）,
（y1,y2,y3）,有
A（
）=A（x1
y1,x2
y2,x3
y3）
=（2x1
2y1
x2
y2,x2
y2
x3
y3,x1y1）
=（2x1
x2,x2
x3,x1）（2y1
y2,y2
y3,y1）
=A+A
A（k）
A（kx1,kx2,kx3）
（2kx1kx2,kx2kx3,kx1）
（2kx1kx2,kx2kx3,kx1）
=
kA（）
3
上的线性变换.
故A是P
5）是.因任取f（x）P[x],g（x）
P[x],并令
u（x）
f（x）g（x）则
A（f（x）
g（x））=Au（x）=u（x
1）=f（x1）
g（x
1）=Af（x）+A（g（x））
再令v（x）
kf（x）则A（kf（x））
A（v（x））
v（x1）
kf（x1）kA（f（x））
故A为P[x]上的线性变换.
6）是.因任取f（x）P[x],g（x）
P[x]则.
A（f（x）
g（x））=f（x0）g（x0
）A（f（x））
A（g（x））
A（kf（x））
kf（x0）kA（f（x））
7）不是.例如取
a=1,k=I,则
精选范本
.
A
（ka）=-i,k（
A
a）=i,
A
（ka）
k
（a）
A
8）是.因任取二矩阵
X,Y
Pnn,则
A（XY）
B（X
Y）C
BXCBYCAX+AY
A（kX）=B（kX）
k（BXC）
kAX
故A是Pn
n上的线性变换.
2.在几何空间中以B表示绕oy变换.证明:
取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,,轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的
A4=B4=C4=E,ABBA,A2B2=B2A2
并检验（AB）2=A2B2是否成立.
解
任取一向量a=（x,y,z）,则有
1）
因为
Aa=（x,-z,y）,
A2a=（x,-y,-z）
A3a=（x,z,-y）,
A4a=（x,y,z）
Ba=（z,y,-x）,
B2a=（-x,y,-z）
B3a=（-z,y,x）,
B4a=（x,y,z）
Ca=（-y,x,z）,
C2a=（-x,-y,z）
C3a=（y,-x,z）,
C4a=（x,y,z）
所以
A4=B4=C4=E
2）因为
AB（a）=A（z,y,-x）=（z,x,y）
BA（a）=B（x,-z,y）=（y,-z,-x）
所以
ABBA
3）因为
A2B2（a）=A2（-x,y,-z）=（-x,-y,z）
B2A2（a）=B2（x,-y,-z）=（-x,-y,z）
所以
精选范本
.
A2B2=B2A2
3）因为
（AB）2（a）=（AB）（AB（a））_=AB（z,x,y）=（y,z,x）
A2B2（a）=（-x,-y,z）
所以
（AB）2A2B2
3.在P[x]中,Af（x）f'（x）,Bf（x）xf（x）
证明:
AB-BA=E
证任取f（x）P[x],则有
（AB-BA）f（x）=ABf（x）-BAf（x）=A（xf（x））-B（f'（x））=f（x）xf;（x）-xf'（x）=f（x）
所以AB-BA=E
4.设A,B是线性变换,如果AB-BA=E,证明:
kkk1
AB-BA=kA（k>1）
证采用数学归纳法.
当k=2时
A2B-BA2=（A2B-ABA）+（ABA-BA2）=A（AB-BA）+（AB-BA）A=AE+EA=2A
结论成立.
归纳假设
km
A
m
B-BA
m
=
m
A
m1
.
km1
时结论成立即
则当
时有
Am1B-BAm1=（Am1B-AmBA）+（AmBA-BAm1）=Am（AB-BA）+（AmB-BAm）A=AmE+mAm1A=（m1）Am
即km1时结论成立.故对一切k1结论成立.5.证明:
可逆变换是双射.
证设A是可逆变换,它的逆变换为A1.
若ab,则必有AaAb,不然设Aa=Ab,两边左乘A1,有a=b,这与条件矛盾.
1
其次,对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上,令Ab=a即可.
6.设1,2,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。
证明：
A是可逆变换当且
精选范本
.
仅当A1,A
2,,A
n线性无关.
证因
A（1,2,
n）=（A
1,A
2,
A
n）=（
1,2,,n）A
故A可逆的充要条件是矩阵
A可逆,而矩阵A可逆的充要条件是A1,A2,
An线性无关.
故A可逆的充要条件是
A
1,A2,
A
n线性无关.
7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵
:
1）第1题4）中变换A在基
1=（1,0,0）,
2=（0,1,0）,3=（0,0,1）下的矩阵;
2）[o;1,2]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂
直投影,B是平面上的向量对2的垂直投影,求A,B,AB在基1,2下的矩阵;
3）
在空间P[x]n中,设变换A为f（x）
f（x
1）
f（x）
试求A在基
i=x（x1）
（x
i
1）1
（I=1,2,
n-1）
i!
下的矩阵A;
4）
六个函数
1=eaxcosbx,
2=eaxsinbx
3=xeaxcosbx,4=xeaxsinbx
1=
1
x2
eaxcosbx,1=
1
eax
x2
sinbx
2
2
的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间
求微分变换D在基
i（i=1,2,
6）下的
矩阵;
3中线性变换
1
0
1
5）
已知
A在基
1=（-1,1,1）,2
=（1,0,-1）,
下的矩阵是
1
1
0
P
3=（0,1,1）
1
2
1
求A在基
1=（1,0,0）,
2=（0,1,0）,3=（0,0,1）下的矩阵;
6）
在P
3中,A定义如下:
A
A
A
其中
1
2
3
（5,0,3）
（0,1,6）
（5,1,9）
精选范本
.
1
2
3
（1,0,2）
（0,1,1）
（3,1,0）
求在基1=（1,0,0）,2=（0,1,0）,3=（0,0,1）下的矩阵;
7）同上,求A在1,2,3下的矩阵.
解1）
A
1=（2,0,1）=21+
3
A
2=（-1,1,0）=-
1+
2
A
3=（0,1,0）=
2
2
1
0
故在基
1,
2，
3下的矩阵为0
1
1
1
0
0
2）取
1=（1，0），2=（0，1）则A1=1
1
+1
2，
1
2
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