高等代数第四章线性变换.docx

1、高等代数第四章线性变换.第四章 线性变换习题精解1 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间 V 中， A,其中V 是一固定的向量；2） 在线性空间 V 中， A其中V 是一固定的向量；3） 在 P 3 中， A ( x1 , x2 , x3 )( x12 , x2x3 , x32 ) ；4） 在 P 3 中， A ( x1 , x2 , x3 )(2 x1x2 , x2x3 , x1 ) ；5） 在 P x 中， A f ( x)f (x 1)6） 在 P x 中， A f ( x)f ( x0 ), 其中 x0P 是一固定的数；7） 把复数域上看作复数域上的线性空间，A

2、8） 在 P n n 中， AX=BXC其中 B,CP nn 是两个固定的矩阵 .解 1)当0时 ,是;当0 时,不是 .2)当0时,是;当0 时,不是 .3)不是 .例如当(1,0,0) , k2 时 , k A ()(2,0,0), A (k ) (4,0,0) ,A (k )k A( ) .4)是 .因取( x1 , x2 , x3 ),( y1, y2 , y3 ) ,有A () = A ( x1y1 , x2y2 , x3y3 )= (2x12 y1x2y2 , x2y2x3y3 , x1 y1 )= (2x1x2 , x2x3 , x1 ) (2 y1y2 , y2y3 , y1

3、)=A +AA (k )A (kx1 , kx 2 , kx3 )(2kx1 kx2 , kx2 kx3 , kx1 )(2kx1 kx2 , kx2 kx3 , kx1 )=k A ( )3上的线性变换 .故A是P5) 是 .因任取 f ( x) P x, g(x)P x ,并令u( x)f ( x) g( x) 则A ( f ( x)g (x) = A u(x) = u( x1) = f ( x 1)g (x1) =A f (x) + A (g( x)再令 v( x)kf (x) 则 A (kf ( x)A ( v( x)v( x 1)kf ( x 1) k A ( f ( x)故 A 为

4、 P x 上的线性变换 .6)是 .因任取 f ( x) P x, g( x)P x 则 .A ( f ( x)g (x) = f ( x0 ) g( x0) A ( f ( x)A ( g (x) )A (kf ( x)kf (x0 ) k A ( f ( x)7)不是 .例如取a=1,k=I, 则精选范本.A(ka)=-i , k(Aa)=i,A(ka)k(a)A8)是.因任取二矩阵X ,YPn n ,则A(X Y)B( XY)CBXC BYC A X +AYA(k X )= B(kX )k( BXC )k A X故 A 是 P nn 上的线性变换 .2.在几何空间中以 B 表示绕 oy

5、变换 .证明 :,取直角坐标系 oxy,以 A 表示将空间绕 ox 轴由 oy 向 oz 方向旋转 90 度的变换 , 轴向 ox 方向旋转 90 度的变换 ,以 C 表示绕 oz 轴由 ox 向 oy 方向旋转 90 度的A4=B 4=C4=E,AB BA,A2B2=B 2A2并检验 (AB)2 = A 2 B2 是否成立 .解任取一向量 a=(x,y,z),则有1)因为Aa=(x,-z,y),A 2 a=(x,-y,-z)A 3 a=(x,z,-y),A 4 a=(x,y,z)Ba=(z,y,-x),B 2 a=(-x,y,-z)B 3 a=(-z,y,x),B 4 a=(x,y,z)Ca

6、=(-y,x,z),C 2 a=(-x,-y,z)C3 a=(y,-x,z),C4 a=(x,y,z)所以A4=B 4=C4=E2)因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)所以AB BA3)因为A 2 B 2 (a)=A 2 (-x,y,-z)=(-x,-y,z)B 2 A 2 (a)=B 2 (x,-y,-z)=(-x,-y,z)所以精选范本.A2B2=B2A23)因为(AB) 2 (a)=( AB)(AB(a)_=AB (z,x,y)=(y,z,x)A 2 B 2 (a)=(-x,-y,z)所以(AB)2 A2 B23.在 Px

7、中 ,A f ( x) f (x), B f (x) xf ( x)证明 :AB-BA=E证 任取 f ( x) Px,则有(AB-BA) f ( x) = AB f (x) -BA f ( x) =A ( xf (x) -B( f (x) = f ( x) xf ; ( x) - xf ( x) = f (x)所以 AB-BA=E4.设 A,B 是线性变换 ,如果 AB-BA=E, 证明 :k k k 1A B-BA = k A (k1)证 采用数学归纳法 .当 k=2 时A 2 B-BA 2 =(A 2 B-ABA)+(ABA-BA 2 )=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=

8、 2A结论成立 .归纳假设k m,AmB-BAm=mAm 1.k m 1,时结论成立 即则当时 有A m 1 B-BA m 1 =(A m 1 B-A m BA)+(A m BA-BA m 1 )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+ m A m 1 A= (m 1) A m即 k m 1 时结论成立 .故对一切 k 1 结论成立 . 5.证明 :可逆变换是双射 .证 设 A 是可逆变换 ,它的逆变换为 A 1 .若 a b ,则必有 Aa Ab,不然设 Aa=A b,两边左乘 A 1 ,有 a=b,这与条件矛盾 .1其次 ,对任一向量 b,必有 a 使 Aa=b

9、,事实上 ,令 A b=a 即可 .6.设 1 , 2 , , n 是线性空间 V 的一组基， A 是 V 上的线性变换。证明： A 是可逆变换当且精选范本.仅当 A 1,A2, ,An 线性无关 .证 因A( 1, 2, n )=( A1 ,A2 ,An )=(1, 2 , , n )A故 A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆 ,而矩阵 A 可逆的充要条件是 A 1 ,A 2 ,A n 线性无关 .故 A 可逆的充要条件是A1,A 2,An 线性无关 .7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:1) 第1题4)中变换 A在基1 =(1,0,0),2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1)下的矩阵

10、;2) o; 1 , 2 是平面上一直角坐标系 ,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影 ,B 是平面上的向量对 2 的垂直投影 ,求 A,B,AB 在基 1 , 2 下的矩阵 ;3)在空间 Px n 中 ,设变换 A 为 f ( x)f (x1)f (x)试求 A在基i = x( x 1)(xi1) 1(I=1,2,n-1)i!下的矩阵 A;4)六个函数1 =e ax cos bx ,2 =e ax sinbx3 = x e ax cosbx , 4 = x e ax sin bx1 =1x2e ax cosbx , 1=1e axx 2sin bx22的所有实数线性组合构成

11、实数域上一个六维线性空间,求微分变换 D 在基i (i=1,2,6)下的矩阵 ;3 中线性变换1015)已知A 在基1 =(-1,1,1), 2=(1,0,-1),下的矩阵是110P3 =(0,1,1)121求A在基1=(1,0,0),2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1)下的矩阵 ;6)在 P3 中,A 定义如下 :AAA其中123( 5,0,3)(0, 1,6)( 5, 1,9)精选范本.123( 1,0,2)(0,1,1)(3, 1,0)求在基 1 =(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1)下的矩阵 ;7)同上,求 A 在 1, 2, 3下的矩阵 .解 1)A1 = (2,0,1)=2 1 +3A2 = (-1,1,0)=-1 +2A3 =(0,1,0)=2210故在基1 ,2 ，3 下的矩阵为 0111002）取1= （1，0）， 2 =（0，1）则 A 1= 11+ 12 ，12