高考数学大一轮复习第七章不等式73二元一次不等式组与简单的线性规划问题教师用书Word格式.docx
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满足线性约束条件的解
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
【知识拓展】
1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界,特殊点定域:
(1)直线定界:
不等式中无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线;
(2)特殊点定域:
若直线不过原点,特殊点常选原点;
若直线过原点,则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.
2.利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:
对于Ax+By+C>
0或Ax+By+C<
0,则有
(1)当B(Ax+By+C)>
0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;
(2)当B(Ax+By+C)<
0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.
3.最优解和可行解的关系:
最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)不等式Ax+By+C>
0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.( ×
)
(2)点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0同侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>
0,异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<
0.( √ )
(3)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<
0表示.( √ )
(4)线性目标函数的最优解是唯一的.( ×
(5)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.( √ )
(6)目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.( ×
1.下列各点中,不在x+y-1≤0表示的平面区域内的是( )
A.(0,0)B.(-1,1)
C.(-1,3)D.(2,-3)
答案 C
解析 把各点的坐标代入可得(-1,3)不适合,故选C.
2.(教材改编)不等式组表示的平面区域是( )
解析 用特殊点代入,比如(0,0),容易判断为C.
3.(2016·
北京)若x,y满足则2x+y的最大值为( )
A.0B.3C.4D.5
解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z=2x+y,则y=-2x+z,作直线2x+y=0并平移,当直线过点A时,截距最大,即z取得最大值,
由得所以A点坐标为(1,2),可得2x+y的最大值为2×
1+2=4.
4.(2017·
杭州质检)设实数x,y满足不等式组若z=2x+y,则z的最大值等于________,z的最小值等于________.
答案 2 0
解析 作出可行域(图略),由y=-2x+z,知当z=2x+y经过点(1,0)时,zmax=2;
当z=2x+y经过点(0,0)时,zmin=0.
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
命题点1 不含参数的平面区域问题
例1
(1)不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下列图形中的( )
(2)不等式组所表示的平面区域的面积等于( )
A.B.C.D.
答案
(1)C
(2)C
解析
(1)(x-2y+1)(x+y-3)≤0⇒
或画出平面区域后,只有C符合题意.
(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分,A(0,),B(1,1),C(0,4),则△ABC的面积为×
1×
=.故选C.
命题点2 含参数的平面区域问题
例2
(1)(2015·
重庆)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为( )
A.-3B.1C.D.3
(2)若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是_________________.
答案
(1)B
(2)
解析
(1)不等式组表示的平面区域如图,则图中A点纵坐标yA=1+m,B点纵坐标yB=,
C点横坐标xC=-2m,
∴S△ABD=S△ACD-S△BCD=×
(2+2m)×
(1+m)-×
==,
∴m=1或m=-3,当m=-3时,不满足题意应舍去,
∴m=1.
(2)不等式组表示的平面区域如图所示.
由于直线y=kx+过定点.因此只有直线过AB中点时,直线y=kx+能平分平面区域.
因为A(1,1),B(0,4),所以AB中点D.
当y=kx+过点时,=+,
所以k=.
思维升华
(1)求平面区域的面积:
①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域;
②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可.
(2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解.
(1)不等式组表示的平面区域为Ω,直线y=kx-1与区域Ω有公共点,则实数k的取值范围为( )
A.(0,3]B.[-1,1]
C.(-∞,3]D.[3,+∞)
(2)已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域,则实数k的值为( )
A.1B.-1C.0D.-2
答案
(1)D
(2)A
解析
(1)直线y=kx-1过定点M(0,-1),由图可知,当直线y=kx-1经过直线y=x+1与直线x+y=3的交点C(1,2)时,k最小,此时kCM==3,因此k≥3,即k∈[3,+∞).故选D.
(2)由于x=1与x+y-4=0不可能垂直,所以只可能x+y-4=0与kx-y=0垂直或x=1与kx-y=0垂直.
①当x+y-4=0与kx-y=0垂直时,k=1,检验知三角形区域面积为1,即符合要求.
②当x=1与kx-y=0垂直时,k=0,检验不符合要求.
题型二 求目标函数的最值问题
命题点1 求线性目标函数的最值
例3
(1)(2016·
全国丙卷)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为________.
(2)已知实数x,y满足:
z=|2x-2y-1|,则z的取值范围是( )
A.[,5]B.[0,5]
C.[0,5)D.[,5)
答案
(1)
(2)C
解析
(1)满足约束条件的可行域为以A(-2,-1),B(0,1),C为顶点的三角形内部及边界,则y=-x+z过点C时Z取得最大值.
(2)由约束条件作可行域如图,
联立解得 ∴A(2,-1),
联立解得∴B(,).
令u=2x-2y-1,则y=x--,由图可知,当y=x--经过点A(2,-1)时,直线y=x--在y轴上的截距最小,u最大,最大值为2×
2-2×
(-1)-1=5;
当y=x--经过点B(,)时,直线y=x--在y轴上的截距最大,u最小,最小值为2×
-2×
-1=-.
∴-≤u<
5,∴z=|u|∈[0,5).
命题点2 求非线性目标函数的最值
例4 实数x,y满足
(1)若z=,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;
(2)若z=x2+y2,求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.
解 由作出可行域,
如图中阴影部分所示.
(1)z=表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,
因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在,即zmax不存在).
由得B(1,2),
∴kOB==2,即zmin=2,
∴z的取值范围是[2,+∞).
(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方.
因此x2+y2的最小值为OA2,最大为OB2.
由得A(0,1),
∴OA2=()2=1,
∴zmax=5,OB2=()2=5,
∴z的取值范围是[1,5].
引申探究
1.若z=,求z的取值范围.
解 z=可以看作过点P(1,1)及(x,y)两点的直线的斜率.
∴z的取值范围是(-∞,0].
2.若z=x2+y2-2x-2y+3.求z的最大值、最小值.
解 z=x2+y2-2x-2y+3
=(x-1)2+(y-1)2+1,
而(x-1)2+(y-1)2表示点P(1,1)与Q(x,y)的距离的平方PQ2,(PQ)=(0-1)2+(2-1)2=2,
(PQ)=()2=,
∴zmax=2+1=3,zmin=+1=.
命题点3 求参数值或取值范围
例5
(1)(2015·
山东)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a等于( )
A.3B.2C.-2D.-3
(2)已知a>
0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=________.
解析
(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.
易知A(2,0),
由得B(1,1).
由z=ax+y,得y=-ax+z.
∴当a=-2或a=-3时,z=ax+y在O(0,0)处取得最大值,最大值为zmax=0,不满足题意,排除C,D选项;
当a=2或3时,z=ax+y在A(2,0)处取得最大值,
∴2a=4,∴a=2,排除A,故选B.
(2)作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).
易知直线z=2x+y过交点A时,z取最小值,
由得
∴zmin=2-2a=1,解得a=.
思维升华
(1)先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.
(2)当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义来解题,常见代数式的几何意义:
①表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,表示点(x,y)与点(a,b)的距离;
②表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.
(3)当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件.
(1)(2016·
临沂检测)若x,y满足约束条件则z=x-y的最小值是( )
A.-3B.0C.D.3
(2)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是________.
答案
(1)A
(2)[1,]
解析
(1)作出不等式组表示的可行域(如图所示的△ABC的边界及内部).
平移直线z=x-y,易知当直线z=x-y经过点C(0,3)时,目标函数z=x-y取得最小值,即zmin=-3.
(2)画可行域如图所示,设目标函数z=ax+y,即y=-ax+z,要使1≤z≤4恒成立,则a>
0,数形结合知,满足即可,解得1≤a≤.所以a的取值范围是[1,].
题型三 线性规划的实际应用问题
例6 (2016·
全国乙卷)