高考数学大一轮复习第七章不等式73二元一次不等式组与简单的线性规划问题教师用书Word格式.docx

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满足线性约束条件的解

可行域

所有可行解组成的集合

最优解

使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

【知识拓展】

1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：

（1）直线定界：

不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；

（2）特殊点定域：

若直线不过原点，特殊点常选原点；

若直线过原点，则特殊点常选取（0,1）或（1,0）来验证．

2．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：

对于Ax＋By＋C>

0或Ax＋By＋C<

0，则有

（1）当B（Ax＋By＋C）>

0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；

（2）当B（Ax＋By＋C）<

0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．

3．最优解和可行解的关系：

最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）不等式Ax＋By＋C>

0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．（　×

　）

（2）点（x1，y1），（x2，y2）在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是（Ax1＋By1＋C）（Ax2＋By2＋C）>

0，异侧的充要条件是（Ax1＋By1＋C）（Ax2＋By2＋C）<

0.（　√　）

（3）第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<

0表示．（　√　）

（4）线性目标函数的最优解是唯一的．（　×

（5）最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．（　√　）

（6）目标函数z＝ax＋by（b≠0）中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．（　×

1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是（　　）

A．（0,0）B．（－1,1）

C．（－1,3）D．（2，－3）

答案　C

解析　把各点的坐标代入可得（－1,3）不适合，故选C.

2．（教材改编）不等式组表示的平面区域是（　　）

解析　用特殊点代入，比如（0,0），容易判断为C.

3．（2016·

北京）若x，y满足则2x＋y的最大值为（　　）

A．0B．3C．4D．5

解析　不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，

由得所以A点坐标为（1,2），可得2x＋y的最大值为2×

1＋2＝4.

4．（2017·

杭州质检）设实数x，y满足不等式组若z＝2x＋y，则z的最大值等于________，z的最小值等于________．

答案　2　0

解析　作出可行域（图略），由y＝－2x＋z，知当z＝2x＋y经过点（1,0）时，zmax＝2；

当z＝2x＋y经过点（0,0）时，zmin＝0.

题型一　二元一次不等式（组）表示的平面区域

命题点1　不含参数的平面区域问题

例1　

（1）不等式（x－2y＋1）（x＋y－3）≤0在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示），应是下列图形中的（　　）

（2）不等式组所表示的平面区域的面积等于（　　）

A.B.C.D.

答案　

（1）C　

（2）C

解析　

（1）（x－2y＋1）（x＋y－3）≤0⇒

或画出平面区域后，只有C符合题意．

（2）由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A（0，），B（1,1），C（0,4），则△ABC的面积为×

1×

＝.故选C.

命题点2　含参数的平面区域问题

例2　

（1）（2015·

重庆）若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（　　）

A．－3B．1C.D．3

（2）若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是_________________．

答案　

（1）B　

（2）

解析　

（1）不等式组表示的平面区域如图，则图中A点纵坐标yA＝1＋m，B点纵坐标yB＝，

C点横坐标xC＝－2m，

∴S△ABD＝S△ACD－S△BCD＝×

（2＋2m）×

（1＋m）－×

＝＝，

∴m＝1或m＝－3，当m＝－3时，不满足题意应舍去，

∴m＝1.

（2）不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y＝kx＋过定点.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域．

因为A（1,1），B（0,4），所以AB中点D.

当y＝kx＋过点时，＝＋，

所以k＝.

思维升华　

（1）求平面区域的面积：

①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；

②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形（如平行四边形或梯形），可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．

（2）利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．

（1）不等式组表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为（　　）

A．（0,3]B．[－1,1]

C．（－∞，3]D．[3，＋∞）

（2）已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为（　　）

A．1B．－1C．0D．－2

答案　

（1）D　

（2）A

解析　

（1）直线y＝kx－1过定点M（0，－1），由图可知，当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1与直线x＋y＝3的交点C（1,2）时，k最小，此时kCM＝＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞）．故选D.

（2）由于x＝1与x＋y－4＝0不可能垂直，所以只可能x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直或x＝1与kx－y＝0垂直．

①当x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直时，k＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求．

②当x＝1与kx－y＝0垂直时，k＝0，检验不符合要求．

题型二　求目标函数的最值问题

命题点1　求线性目标函数的最值

例3　

（1）（2016·

全国丙卷）若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．

（2）已知实数x，y满足：

z＝|2x－2y－1|，则z的取值范围是（　　）

A．[，5]B．[0,5]

C．[0,5）D．[，5）

答案　

（1）　

（2）C

解析　

（1）满足约束条件的可行域为以A（－2，－1），B（0,1），C为顶点的三角形内部及边界，则y＝－x＋z过点C时Z取得最大值.

（2）由约束条件作可行域如图，

联立解得　∴A（2，－1），

联立解得∴B（，）．

令u＝2x－2y－1，则y＝x－－，由图可知，当y＝x－－经过点A（2，－1）时，直线y＝x－－在y轴上的截距最小，u最大，最大值为2×

2－2×

（－1）－1＝5；

当y＝x－－经过点B（，）时，直线y＝x－－在y轴上的截距最大，u最小，最小值为2×

－2×

－1＝－.

∴－≤u<

5，∴z＝|u|∈[0,5）．

命题点2　求非线性目标函数的最值

例4　实数x，y满足

（1）若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；

（2）若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．

解　由作出可行域，

如图中阴影部分所示．

（1）z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，

因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率（直线OA的斜率不存在，即zmax不存在）．

由得B（1,2），

∴kOB＝＝2，即zmin＝2，

∴z的取值范围是[2，＋∞）．

（2）z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．

因此x2＋y2的最小值为OA2，最大为OB2.

由得A（0,1），

∴OA2＝（）2＝1，

∴zmax＝5，OB2＝（）2＝5，

∴z的取值范围是[1,5]．

引申探究

1．若z＝，求z的取值范围．

解　z＝可以看作过点P（1,1）及（x，y）两点的直线的斜率．

∴z的取值范围是（－∞，0]．

2．若z＝x2＋y2－2x－2y＋3.求z的最大值、最小值．

解　z＝x2＋y2－2x－2y＋3

＝（x－1）2＋（y－1）2＋1，

而（x－1）2＋（y－1）2表示点P（1,1）与Q（x，y）的距离的平方PQ2，（PQ）＝（0－1）2＋（2－1）2＝2，

（PQ）＝（）2＝，

∴zmax＝2＋1＝3，zmin＝＋1＝.

命题点3　求参数值或取值范围

例5　

（1）（2015·

山东）已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a等于（　　）

A．3B．2C．－2D．－3

（2）已知a>

0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________.

解析　

（1）不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．

易知A（2,0），

由得B（1,1）．

由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.

∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在O（0,0）处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D选项；

当a＝2或3时，z＝ax＋y在A（2,0）处取得最大值，

∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故选B.

（2）作出不等式组表示的可行域，如图（阴影部分）．

易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，

由得

∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝.

思维升华　

（1）先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．

（2）当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：

①表示点（x，y）与原点（0,0）的距离，表示点（x，y）与点（a，b）的距离；

②表示点（x，y）与原点（0,0）连线的斜率，表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．

（3）当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．

（1）（2016·

临沂检测）若x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值是（　　）

A．－3B．0C.D．3

（2）当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案　

（1）A　

（2）[1，]

解析　

（1）作出不等式组表示的可行域（如图所示的△ABC的边界及内部）．

平移直线z＝x－y，易知当直线z＝x－y经过点C（0,3）时，目标函数z＝x－y取得最小值，即zmin＝－3.

（2）画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a>

0，数形结合知，满足即可，解得1≤a≤.所以a的取值范围是[1，]．

题型三　线性规划的实际应用问题

例6　（2016·

全国乙卷）