高考数学二轮复习 专题10 数列求和及其应用教学案 理Word下载.docx

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既是“

数列”，又是“

数列”，证明：

是等差数列.

【答案】

（1）见解析

（2）见解析

（2）数列

数列”，因此，

当

时，

，①

.②

由①知，

，③

，④

将③④代入②，得

，其中

，

所以

是等差数列，设其公差为

.

在①中，取

，则

，所以

所以数列

【变式探究】

（2016·

浙江卷）设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.

（1）求通项公式an；

（2）求数列{|an－n－2|}的前n项和．

【举一反三】若An和Bn分别表示数列{an}和{bn}的前n项的和，对任意正整数n，an＝2（n＋1），3An－Bn＝4n.

（1）求数列{bn}的通项公式；

（2）记cn＝

，求{cn}的前n项和Sn.

解：

（1）由于an＝2（n＋1），

∴{an}为等差数列，且a1＝4.

∴An＝

＝

＝n2＋3n，

∴Bn＝3An－4n＝3（n2＋3n）－4n＝3n2＋5n，

当n＝1时，b1＝B1＝8，

当n≥2时，bn＝Bn－Bn－1＝3n2＋5n－[3（n－1）2＋5（n－1）]＝6n＋2.

由于b1＝8适合上式，

∴bn＝6n＋2.

（2）由

（1）知cn＝

∴Sn＝

…＋

－

山东卷）已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.

（1）求数列{bn}的通项公式；

（2）令cn＝

，求数列{cn}的前n项和Tn.

＝3（n＋1）·

2n＋1.

又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，

得Tn＝3×

[2×

22＋3×

23＋…＋（n＋1）×

2n＋1]，

2Tn＝3×

23＋3×

24＋…＋（n＋1）×

2n＋2]，

两式作差，得

－Tn＝3×

22＋23＋24＋…＋2n＋1－（n＋1）×

2n＋2]＝3×

＝－3n·

2n＋2，

∴Tn＝3n·

2n＋2.

考点二、数列和函数、不等式的交汇

例4、（2016·

四川卷）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>

0，n∈N*.

（1）若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式；

（2）设双曲线x2－

＝1的离心率为en，且e2＝

，证明：

e1＋e2＋…＋en>

（2）证明：

由

（1）可知，an＝qn－1，

∴双曲线x2－

＝1的离心率

en＝

由e2＝

解得q＝

∵1＋q2（k－1）>

q2（k－1），

∴

>

qk－1（k∈N*）．

于是e1＋e2＋…＋en>

1＋q＋…＋qn－1＝

故e1＋e2＋…＋en>

【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋2n.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若点（bn，an）在函数y＝log2x的图象上，求数列{bn}的前n项和Tn.

1.【2017天津，理18】已知

为等差数列，前n项和为

是首项为2的等比数列，且公比大于0，

（Ⅰ）求

和

的通项公式；

（Ⅱ）求数列

的前n项和

【答案】

（1）

.

（2）

【解析】

（I）设等差数列

的公差为

，等比数列

的公比为

由已知

，得

，而

又因为

，解得

.所以，

由

，可得

①.

②，

联立①②，解得

，

，由此可得

所以，数列

的通项公式为

，数列

（II）解：

设数列

的前

项和为

，有

故

上述两式相减，得

得

2.【2017江苏，19】对于给定的正整数

3.【2017山东，理19】已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2

（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；

（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1,1），P2（x2,2）…Pn+1（xn+1,n+1）得到折线P1P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，

所围成的区域的面积

（I）

（II）

（II）过

……

向

轴作垂线，垂足分别为

由（I）得

记梯形

的面积为

由题意

……+

=

①

又

②

①-②得

1.【2016高考天津理数】已知

是各项均为正数的等差数列，公差为

，对任意的

是

的等差中项.

（Ⅰ）设

，求证：

是等差数列；

（Ⅱ）设

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析

2.【2016高考新课标3理数】已知数列

．

（I）证明

是等比数列，并求其通项公式；

（II）若

，求

（Ⅰ）

；

（Ⅱ）

3.【2016高考浙江理数】设数列

（I）证明：

（I）证明见解析；

（II）证明见解析．

（I）由

，故

因此

（II）任取

，由（I）知，对于任意

4.【2016年高考北京理数】

（本小题13分）

设数列A：

，

…

（

）.如果对小于

（

）的每个正整数

都有

＜

，则称

是数列A的一个“G时刻”.记“

是数列A的所有“G时刻”组成的集合.

（1）对数列A：

-2，2，-1，1，3，写出

的所有元素；

若数列A中存在

使得

；

（3）证明：

若数列A满足

-

≤1（n=2,3,…,N）,则

的元素个数不小于

-

（1）

的元素为

（2）详见解析；

（3）详见解析.

（Ⅲ）当

时，结论成立.

以下设

由（Ⅱ）知

设

.记

则

对

，记

如果

，取

，则对任何

从而

且

中的最大元素，所以

从而对任意

，特别地，

的元素个数p不小于

5.【2016年高考四川理数】

（本小题满分12分）

已知数列{

}的首项为1，

为数列

的前n项和，

，其中q>

0，

.

（Ⅰ）若

成等差数列，求

（Ⅱ）设双曲线

的离心率为

，且

，证明：

（Ⅱ）详见解析.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

所以双曲线

的离心率

解得

因为

于是

6.【2016高考上海理数】

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

若无穷数列

满足：

只要

，必有

，则称

具有性质

（1）若

，且

，求

（2）若无穷数列

是等差数列，无穷数列

是公比为正数的等比数列，

判断

是否具有性质

，并说明理由；

（3）设

是无穷数列，已知

.求证：

“对任意

都具有性质

”的充要条件为“

是常数列”.

．

（2）

不具有性质

．（3）见解析．

（3）[证]充分性：

为常数列时，

对任意给定的

，只要

，则由

充分性得证．

必要性：

用反证法证明．假设

不是常数列，则存在

下面证明存在满足

的

，使得

，但

，故存在

取

，因为

），所以

依此类推，得

但

，即

，矛盾．

必要性得证．

综上，“对任意

是常数列”．

7.【2016高考新课标2理数】

为等差数列

项和，且

记

表示不超过

的最大整数，如

的前1000项和．

（Ⅱ）1893.

8.【2016高考山东理数】

已知数列

的前n项和Sn=3n2+8n，

是等差数列，且

（Ⅰ）求数列

（Ⅱ）令

求数列

的前n项和Tn.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知