传染病模型Word文档格式.docx
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医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，天花在世界范围内被消灭，
鼠疫、霍乱等传染病得到控制。
但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生
命。
在发展中国家，传染病的流行仍十分严重；
即使在发达国家，一些常见的传染病也未
绝迹，而新的传染病还会出现，如爱滋病（AIDS）等。
有些传染病传染很快，导致很高的致残率，危害极大，因而对传染病在人群中传染过程的定量研究具有重要的现实意义。
传染病流行过程的研究与其他学科有所不同，不能通过在人群中实验的方式获得科学
数据。
事实上，在人群中作传染病实验是极不人道的。
所以有关传染病的数据、资料只能
从已有的传染病流行的报告中获取。
这些数据往往不够全面，难以根据这些数据来准确地
确定某些参数，只能大概估计其范围。
基于上述原因，利用数学建模与计算机仿真便成为
研究传染病流行过程的有效途径之一。
上世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地区流行，被传染的人数与哪些因素有关？
如何
预报传染病高潮的到来？
为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不
变？
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直
接的因素是：
传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能
力、免疫能力等，在建立模型时不可能考虑所有因素，只能抓住关键的因素，采用合理
的假设，进行简化。
1
徐世音传染病模型
我们把传染病流行范围内的人群分成三类：
S类，易感者（Susceptible），指未得病者，但缺乏免疫能力，与感病者接触后容易受到感染；
R类，移出者（Removal），指被隔离，或因病愈而具有免疫力的人。
SI模型1
SI模型是指易感者被传染后变为感病者且经久不愈，不考虑移出者，人员流动图为：
S?
I。
假设
1.每个病人在单位时间内传染的人数为常数k0。
2.一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。
iit（）记时刻t的得病人数为0,t，开始时有个传染病人，则在时间内增加的病人数为
ittitkitt（）（）（），,,,,0
于是得：
dit（）,,kit（）,0dt,
ii（0）,,0
kt0itie（）,0其解为：
。
分析与解释：
这个结果与传染病初期比较吻合，但它表明病人人数将按指数规律无限增加，
显然与实际不符。
事实上，一个地区的总人数大致可视为常数（不考虑传染病传播时期出
k生和迁移的人数），在传染病传播期间，一个病人单位时间内能传染的人数0则是在改变
kk00的。
在初期，较大，随着病人的增多，健康者减少，被传染机会也将减少，于是就会
变小。
记时刻st（）t的健康者人数为，假设
itstn（）（），,1.总人数为常数n，且。
2
k2.单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为（传染强度）。
3.一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。
可得方程：
dit（）dit（）,,,kstit（）（）,,ksni（）,,dtdt,,
,ii（0）,ii（0）,00,,，即
nit（）,n,knte1
（1），,i解得：
0。
nln
（1）,idi0t,1分析：
可以解得dtkn的极大值点为：
这可以表示传染病高峰时刻。
随着病人
k0的增多，健康者减少，被传染机会也将减少，于是就会变小。
t当传染强度1kt,,增加时，将变小，即传染高峰来得快，这与实际情况吻合。
但当时，
itn（）,，这意味着最终人人都将被传染，显然与实际不符。
假设
1.单位时间内正常人被传染的比率为常数r。
dit（）,,,rni（）,dt,i,rt0（）[1
（1）],,,itne,我们得方程：
ii（0）,0,n，解得：
，这表明最终每个人都要传染上疾病。
我们假设，宣传运动的开展将使得传染上疾病的人数减少，减少的速度与总人数成正
tt,,0比，这个比例常数取决于宣传强度。
若从0开始，开展一场持续的宣传运动，宣传
a强度为，则所得的数学模型为：
di,,,,,rnianHtt（）（）,0dt,
3
1tt,,0Htt（）,,,00tt,,0其中：
为Heaviside函数。
ian,,rtt（）,rt00（）[1
（1）]（）[1],,,,,,itneHtte0求得：
nr
alim（）
（1）,,,itnnt,，,r，这表明持续的宣传是起作用的，最终会使发病率减少。
如果宣传运动是短暂进行的，这在日常生活中是常见的，例如仅仅是听一个报告，或
tttt,,,,街头散发传单等，即在mm12m等个时刻进行次宣传，宣传强度分别为aaa,,,12m，则模型变为：
mdi,,,,,rnintt（）（）,j,,jdt,1,
ii（0）,0,
mrtt,,（）rtrt,,jitienenaHtte（）[1]（）,，,,,jj0,j,1解得：
lim（）itn,t,，,
这表明短暂的宣传是不起作用的，最终还是所有的人都染上了疾病。
SIS模型是指易感者被传染后变为感病者，感病者可以被治愈，但不会产生免疫力，所以
仍为易感者。
人员流动图为：
I?
S。
有些传染病如伤风、痢疾等愈后的免疫力很底，可以假定无免疫性。
于是痊愈的病人
仍然可以再次感染疾病，也就是说痊愈的感染者将再次进入易感者的人群。
假定：
1.总人数为常数
itstn（）（），,n，且。
2.单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为k（传染强度）。
3.感病者以固定的比率h痊愈，而重新成为易感者。
我们可得模型：
4
dit（）,,,kitsthit（）（）（）,dt,
i10ithnk,,ithnk（）,,（）kk11（）hnkt,，,ekt，（）0nkhinkh,,i0可解得：
或
nknknkh,,1lim（）,1it,lim（）0it,t,,分析：
t,,hhk时，；
时，。
这里出现了传染病学中非常重
nk,1要的阈值概念，或者说门槛（threshhold）现象，即h是一个门槛，这与实际很符合，
即人口越多，传染率越高，从得病到治愈时间越长，传染病越容易流行。
SIR模型是指易感者被传染后变为感病者，感病者可以被治愈，并会产生免疫力，变为移
出者。
R。
大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人
既非易感者，也非感病者，因此他们将被移出传染系统，我们称之为移出者，记为R类。
假设：
1.总人数为常数itstrtn（）（）（），，,n，且；
3.单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人人数成正比，比例系数为l，称为恢复系数。
可得方程：
di,,,ksiliii（0）0,,,,0,dt,,ss（0）0,,,0ds,,,ksi,rr（0）0,,,0dt,,取初值：
sdil,isn,,，,ln,,,1,lim（）0it,s分析：
由以上方程组得：
t,,0dssk，所以，容易得出；
s,,s,,it（）it（）00而当时，单调下降趋于零；
时，先单调上升到最高峰，然后再单调下
,降趋于零。
所以这里仍然出现了门槛现象：
是一个门槛。
从的意义可知，应该降低传
染率，提高恢复率，即提高卫生医疗水平。
5
sss（）,,,00,ln0,，,snss,,2,0,ssn,,00t,,令可得；
，假定，可得：
，所以若记
s,，,,ss,,2,,,,,00,，当时，，这也就解释了本文开头的问题，即同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变.
通过模型1-5的分析可得看出传染病的传播过程，传播高峰
期影响因素。
传染病的特点是有病原体，有传染性和流行性，感染后常有免疫性。
有
些传染病还有季节性或地方性。
传染病的分类尚未统一，有人按病原体分类，有人按
传播途径分类。
传染病的预防应采取以切断主要传播环节为主导的综合措施。
传染病
的传播和流行必须具备3个环节，即传染源（能排出病原体的人和／或动物）、传播
途径（病原体传染他人的途径）及易感者（对该种传染病无免疫力者）。
若能完全切
断其中的一个环节，即可防止该种传染病的发生和流行。
各种传染病的薄弱环节各不
相同。
在预防中应充分利用。
除主导环节外对其他环节也应采取措施，只有这样才能
更好地预防各种传染病。
由于生物性的致病原于人体外可存活的时间不一，存在人体内的位置、活动方式都
有不同，都影响了一个感染症如何传染的过程。
为了生存和繁衍，这类病原性的微生
物必须具备可传染的性质，每一种传染性的病原通常都有特定的传播方式，例如透过
呼吸的路径，某些细菌或病毒可以引起宿主呼吸道表面黏膜层的型态变化，刺激神经
反射而引起咳嗽或喷嚏等症状，藉此重回空气等待下一个宿主将其入，但也有部分微
生物则是引起消化系统异常，像是腹泻或呕吐，并随着排出物散布在各处。
透过这些
方式，复制的病原随患者的活动范围可大量散播。
空气传染，有些病原体在空气中可以自由散布，直径通常为5微米，能够长时间浮游于空气中，做长距离的移动，主要藉由呼吸系统感染，有时亦与飞沫传染混称。
飞沫传染，飞沫传染是许多感染原的主要传播途径，藉由患者咳嗽、打喷嚏、说
话时，喷出温暖而潮湿之液滴，病原附着其上，随空气扰动飘散短时间、短距离地在
风中漂浮，由下一位宿主因呼吸、张口或偶然碰触到眼睛表面时黏附，造成新的宿主
受到感染。
例如：
细菌性脑膜炎、水痘、普通感冒、流行性感冒、腮腺炎、结核、麻
疹、德国麻疹、百日咳等等。
由于飞沫质、量均小，难以承载较重之病原，因此寄生
虫感染几乎不由此途径传染其它个体。
粪口传染，常见于发展中国家卫生系统尚未健全、教育倡导不周的情况下，未处理
之废水或受病原沾染物，直接排放于环境中，可能污损饮水、食物或碰触口、鼻黏膜
之器具，以及如厕后清洁不完全，藉由饮食过程可导致食入者感染，主要病原可为病
毒、细菌、寄生虫，如霍乱、A型肝炎、小儿麻痹、轮状病毒、弓型虫感染症（T.gondii），
于已开发国家也可能发生。
有时，某些生物因体表组织构造不足以保护个体，可能因
接触患者之排泄物而受到感染，正常情况下在人类族群中不会发生这种特例。
接触传染，经由直接碰触而传染的方式称为接触传染，这类疾病除了直接触摸、
亲吻患者，也可以透过共享牙刷、毛巾、刮胡刀、餐具、衣物等贴身器材，或是因患
者接触后，在环境留下病原达到传播的目的。
因此此类传染病较常发生在学校、军队
等物品
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