高中数学立体几何讲义(一)文档格式.doc

高中数学立体几何讲义(一)文档格式.doc

《高中数学立体几何讲义(一)文档格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学立体几何讲义(一)文档格式.doc（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

应用：

是判定直线是否在平面内的依据，也是检验平面的方法。

公理2：

如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

且且唯一如图示：

①确定两相交平面的交线位置；

②判定点在直线上。

α

D

C

B

A

E

F

H

G

例1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：

E，F，G，H四点必定共线．

解：

∵AB∥CD，

∴AB，CD确定一个平面β．

又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β，

即E为平面α与β的一个公共点．

同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．

∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，

∴E，F，G，H四点必定共线．

说明：

在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．

l

例2

β

M

例2．如图，已知平面α，β，且αβ＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：

AB，CD，l共点（相交于一点）．

证明∵梯形ABCD中，AD∥BC，

∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．

∴AB，CD必定相交于一点，

设ABCD＝M．

又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β．∴M∈αβ．

又∵αβ＝l，∴M∈l，

即AB，CD，l共点．

证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的．

公理3：

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

不共线存在唯一的平面，使得。

①确定平面；

②证明两个平面重合。

例3．已知：

a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：

a，b，c，d共面．

证明1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，

但AÏ

d，如图1．

b

a

d

c

图1

∴直线d和A确定一个平面α．

又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，

则A，E，F，G∈α．

∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．

同理可证bα，cα．

∴a，b，c，d在同一平面α内．

K

图2

2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．

∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．

设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．

又H，K∈c，∴c,则cα．

同理可证dα．

∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．

证明若干条线（或若干个点）共面的一般步骤是：

首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线（或点）均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．

“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证。

推论1：

经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。

存在唯一的平面，使得，。

推论2：

经过两条相交直线有且只有一个平面。

存在唯一的平面，使得。

推论3：

经过两条平行直线有且只有一个平面。

练习：

1．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1的中，A1C1B1D1＝O1，B1D平面A1BC1＝P．

求证：

P∈BO1．

证明在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，

A1

B1

D1

C1

O1

P

∵B1D平面A1BC1＝P，∴P∈平面A1BC1，P∈B1D．

∵B1D平面BB1D1D．∴P∈平面A1BC1，且P∈平面BB1D1D．

∴P∈平面A1BC1平面BB1D1D，

∵A1C1B1D1＝O1，A1C1平面A1BC1，B1D1平面BB1D1D，

∴O1∈平面A1BC1，且O1∈平面BB1D1D．

又B∈平面A1BC1，且B∈平面BB1D1D，

∴平面A1BC1平面BB1D1D＝BO1．∴P∈BO1

说明一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个平面上。

（Ⅱ）、空间两条直线

1、空间两直线的位置关系：

（1）相交——有且只有一个公共点；

（2）平行——在同一平面内，没有公共点；

（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；

2、公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

3、等角定理：

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

4、等角定理的推论:

如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角（或直角）相等。

5、异面直线判定定理：

连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。

与是异面直线。

异面直线的判定方法：

①判定定理；

②定义法；

③反证法是证明两直线异面的有效方法。

例1．已知不共面的三条直线、、相交于点，，，，，求证：

与是异面直线．

证一：

（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，∴AD和BC是异面直线。

证二：

（直接证法）∵a∩c=P，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C平面α，B∈平面α，AD平面α，BAD，∴AD和BC是异面直线。

6、异面直线所成的角：

已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上。

异面直线所成的角的范围：

7、异面直线垂直：

如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线垂直，记作。

8、求异面直线所成的角的方法：

几何法：

（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；

（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。

向量法：

用向量的夹角公式。

例2．在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，则直线与所成的角为（A）

300450600

例3．一条长为的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与所成角为，与所成角为，且，，，、是垂足，求

（1）的长；

（2）与所成的角

（1）连BC、AD，可证AC⊥β，BD⊥α，∴ABC=300，

∠BAD=450，Rt△ACB中，BC=AB·

cos300=，

在Rt△ADB中，BD=AB·

sin450=

在Rt△BCD中，可求出CD=1cm（也可由AB2=AC2+BD2+CD2-2AC·

BD·

cos900求得）

（2）作BE//l，CE//BD，BE∩CE，则∠ABE就是AB与CD所成的角，连AE，由三垂线定理可证BE⊥AE，先求出AE=，再在Rt△ABE中，求得∠ABE=600。

在（3）中也可作CH⊥AB于H，DF⊥AB于F，HF即为异面直线CH、DF的公垂线，利用公式CD2=CH2+DF2+HF2-2·

CH·

DFcosα，求出cosα=。

9、两条异面直线的公垂线、距离：

和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线。

理解：

因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义。

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离。

两条异面直线的公垂线有且只有一条。

计算方法：

①几何法；

②向量法。

例4．在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为___．（答案：

）

例5．两条异面直线、间的距离是1cm，它们所成的角为600，、上各有一点A、B，距公垂线的垂足都是10cm，则A、B两点间的距离为_______．

答案：

O

1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1的中，求证：

B1D被平面A1BC1分成1∶2的两段．

证明：

如图1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

连结B1D1，A1C1，BD，AC．

设B1D1A1C1＝M，BDAC＝N．

∴M，N分别是B1D1，AC的中点．

连结BM，D1N．

∵BB1∥DD1，且BB1＝DD1，

∴四边形BDD1B1是平行四边形．

在平面BDD1B1中，设B1DBM＝O，B1DD1N＝O1，

N

在平行四边形BDD1B1中，

∵D1M∥NB，且D1M＝NB，

∴四边形BND1M是平行四边形．

∴BM∥ND1，即OM∥O1D1，

∴O是BO1的中点，即O1O＝OB1．

同理，OO1＝O1D．

∴O1O＝OB1＝O1D．

综上，OB1∶OD1＝1∶2．

2．如图，已知平面α、β交于直线，AB、CD分别在平面α，β内，且与分别交于B，D两点．若∠ABD＝∠CDB，试问AB，CD能否平行？

并说明理由．

直线AB，CD不能平行．否则，若AB∥CD，则AB∥CD共面，记这个平面为γ．

α

β

∴AB，CDγ．

∴ABα，D∈γ．

由题知，ABα，D∈α，且DÏ

AB，

根据过一条直线及这条直线外一点，有且仅有一个平面，α与γ重合．

同理，β与γ重合．

∴α与β重合，这与题设矛盾．

∴AB，CD不能平行．

3．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，求证：

CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．

假设CD1所在的直线与BC1所在的直线不是异面直线．

设直线CD1与BC1共面α．

∵C，D1∈CD1，B，C1∈BC1，∴C，D1，B，C1∈α．

∵CC1∥BB1，∴CC1，BB1确定平面BB1C1C，

∴C，B，C1∈平面BB1C1C．

∵不共线的三点C，B，C1只有一个平面，

∴平面α与平面BB1C1C重合．

∴D1∈平面BB1C1C，矛盾．

因此，假设错误，即CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．

基