高中数学恒成立问题Word格式文档下载.doc

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例1　已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.

解：

由移项得:

.不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设则不等式对满足的一切实数恒成立对恒成立.当时，即

解得故的取值范围是.

注：

此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；

若转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。

二、分离参数法

在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法.

例2　已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数.

（Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围.

由题意知，函数在区间上是减函数.

在上恒成立

此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：

若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；

若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则.

三、数形结合法

如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.

例3　已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 

.

在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是

注：

解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象.如：

不等式，在时恒成立，求的取值范围.此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解.

四、最值法

当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解.

例4　已知函数

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

解（Ⅱ）当时，不等式即恒成立.由于，，亦即，所以.令，则，由得.且当时，；

当时，，即在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也就是函数在定义域上的最大值.因此要使恒成立，需要，所以的取值范围为.

例5　对于任意实数x，不等式│x+1│+│x-2│＞a恒成立，求实数a的取值范围.

分析①：

把左边看作x的函数关系，就可利用函数最值求解.

　解法1：

设f（x）=│x+1│+│x-2│

=-2x+1,（x≤1）3，（-1＜x≤2）2x-1,（x＞2）

∴f（x）min=3.

∴a＜3.

　分析②：

利用绝对值不等式│a│-│b│＜│a±

b│＜│a│+│b│求解f（x）=│x+1│+│x-2│的最小值.

　解法2：

设f（x）=│x+1│+│x-2│，

∵│x+1│+│x-2│≥│（x+1）-（x-2）│=3，

∴f（x）min=3.∴a＜3.

　分析③：

利用绝对值的几何意义求解.

　解法3：

设x、-1、2在数轴上的对应点分别是P、A、B，则│x+1│+│x-2│=│PA│+│PB│，当点P在线段AB上时，│PA│+│PB│=│AB│=3，当点P不在线段AB上时，│PA│+│PB│＞3，因此不论点P在何处，总有│PA│+│PB│≥3，而当a＜3时，│PA│+│PB│＞a恒成立，即对任意实数x，不等式│x+1│+│x-2│＞a恒成立.∴实数a的取值范围为（-∞，3）.

小结

求“恒成立问题”中参数范围，利用函数最值方便自然，利用二次不等式恒为正（负）的充要条件要分情况讨论，利用图象法直观形象.综上，恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，它以“参数处理”为主要特征，以“导数”为主要解题工具.往往与函数的单调性、极值、最值等有关，所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来，通过函数最值求解相关问题.不等式恒成立问题，因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样，技巧性强，难度大等特点，要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力，上述方法是比较常用的，但因为问题形式千变万化，考题亦常考常新，因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学，在平时的训练中不断领悟和总结，教师也要介入心理辅导和思想方法指导，从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高.