高中数学函数知识点总结Word格式.doc

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义域是_____________。

复合函数定义域的求法：

已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。

11、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例求函数y=的值域

2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

6、函数单调性法

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角

函数公式模型。

换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发

挥作用。

例求函数y=x+的值域。

8数形结合法

例求函数y=+的值域。

解：

原函数可化简得：

y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A

（2），B（-8）间的距离之和。

由上图可知：

当点P在线段AB上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10

故所求函数的值域为：

[10，+∞）

多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

切记：

做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂

15.如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）

判断函数单调性的方法有三种：

（1）定义法：

根据定义，设任意得x1,x2，找出f（x1）,f（x2）之间的大小关系

可以变形为求的正负号或者与1的关系

（2）参照图象：

①若函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间具有相同的单调性；

（特例：

奇函数）

②若函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，则函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间里具有相反的单调性。

（特例：

偶函数）

（3）利用单调函数的性质：

①函数f（x）与f（x）＋c（c是常数）是同向变化的

②函数f（x）与cf（x）（c是常数），当c＞0时，它们是同向变化的；

当c＜0时，它们是反向变化的。

③如果函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）＋f2（x）和它们同向变化；

（函数相加）

④如果正值函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们同向变化；

如果负值函数f1

（2）与f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们反向变化；

（函数相乘）

⑤函数f（x）与在f（x）的同号区间里反向变化。

⑥若函数u＝φ（x），x[α，β]与函数y＝F（u），u∈[φ（α），φ（β）]或u∈[φ（β）,φ（α）]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ（x）]是递增的；

若函数u＝φ（x）,x[α，β]与函数y＝F（u），u∈[φ（α），φ（β）]或u∈[φ（β），φ（α）]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ（x）]是递减的。

（同增异减）

⑦若函数y＝f（x）是严格单调的，则其反函数x＝f－1（y）也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。

f（g）

g（x）

f[g（x）]

f（x）+g（x）

f（x）*g（x）都是正数

增

减

/

∴……）

16.如何利用导数判断函数的单调性？

值是（）

A.0 B.1 C.2 D.3

∴a的最大值为3）

17.函数f（x）具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f（x）定义域关于原点对称）

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：

两个奇函数的乘积是偶函数；

两个偶函数的乘积是偶函数；

一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

判断函数奇偶性的方法

一、定义域法

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.

.

二、奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

三、复合函数奇偶性

f（x）*g（x）

奇

偶

非奇非偶

18.你熟悉周期函数的定义吗？

函数，T是一个周期。

）

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：

告诉你f（x）+f（x+t）=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t.推导：

，

同时可能也会遇到这种样子：

f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）.其实这都是说同样一个意思：

函数f（x）关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。

比如，f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）就都表示函数关于直线x=a对称。

如：

19.你掌握常用的图象变换了吗？

联想点（x,y）,（-x,y）

联想点（x,y）,（x,-y）

联想点（x,y）,（-x,-y）

联想点（x,y）,（y,x）

联想点（x,y）,（2a-x,y）

联想点（x,y）,（2a-x,0）

（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。

对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。

你要判断函数y-b=f（x+a）怎么由y=f（x）得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。

看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。

注意如下“翻折”变换：

19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

（k为斜率，b为直线与y轴的交点）

的双曲线。

应用：

①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

由图象记性质！

（注意底数的限定！

20.你在基本运算上常出现错误吗？

21.如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了

1、代y=x，

2、令x=0或1来求出f（0）或f

（1）

3、求奇偶性，令y=—x；

求单调性：

令x+y=x1

例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>

0时，f（x）>

0，f（－1）＝－2求f（x）在区间[－2,1]上的值域.

分析：

先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；

再根据区间求其值域.

例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>

2，f（3）＝5，求不等式f（a2－2a－2）<

3的解.

先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；

再求出f

（1）＝3；

最后脱去函数符号.

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；

（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范围.

（1）令y＝－1；

（2）利用f（x1）＝f（·

x2）＝f（）f（x2）；

（3）0≤a≤2.

例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：

存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；

对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：

（1）f（0）；

（2）对任意值x，判断f（x）值的符号.

（1）令x=y＝0；

（2）令y＝x≠0

例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·

y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：

（1）f

（1）；

（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.

（1）利用3＝1×

3；

（2）利用函数的单调性和已知关系式.

对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.

例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），

（1）求证：

f

（1）＝f（－1）＝0；

（2）求证：

f（x）为偶函数；

（3）若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.

函数模型为：

f（x）＝loga|x|（a＞0）

（1）先令x＝y＝1，再令x＝y＝－1；

（2）令y＝－1；

（3）由f（x）