高中数学函数解题技巧方法总结(高考)Word下载.doc
《高中数学函数解题技巧方法总结(高考)Word下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学函数解题技巧方法总结(高考)Word下载.doc(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
3.如何求复合函数的定义域?
义域是_____________。
复合函数定义域的求法:
已知的定义域为,求的定义域,可由解出x的范围,即为的定义域。
例若函数的定义域为,则的定义域为。
分析:
由函数的定义域为可知:
;
所以中有。
解:
依题意知:
解之,得
∴ 的定义域为
4、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例求函数y=的值域
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=-2x+5,x[-1,2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面
下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂
4、反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例求函数y=值域。
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。
我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。
例求函数y=,,的值域。
6、函数单调性法
通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=(2≤x≤10)的值域
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发
挥作用。
例求函数y=x+的值域。
8数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这
类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例:
已知点P(x.y)在圆x2+y2=1上,
例求函数y=+的值域。
原函数可化简得:
y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P(x)到定点A
(2),B(-8)间的距离之和。
由上图可知:
当点P在线段AB上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10
故所求函数的值域为:
[10,+∞)
例求函数y=+的值域
原函数可变形为:
y=+
上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,由图可知当点P为线段与x轴的交点时,y=∣AB∣==,
故所求函数的值域为[,+∞)。
注:
求两距离之和时,要将函数
9、不等式法
利用基本不等式a+b≥2,a+b+c≥3(a,b,c∈),求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
10.倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况
例求函数y=的值域
多种方法综合运用
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。
5.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
切记:
做题,特别是做大题时,一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂
6.反函数存在的条件是什么?
(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;
②互换x、y;
③注明定义域)
在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。
请看这个例题:
(2004.全国理)函数的反函数是(B)
A.y=x2-2x+2(x<
1) B.y=x2-2x+2(x≥1)
C.y=x2-2x(x<
1) D.y=x2-2x(x≥1)
当然,心情好的同学,可以自己慢慢的计算,我想,一番心血之后,如果不出现计算问题的话,答案还是可以做出来的。
可惜,这个不合我胃口,因为我一向懒散惯了,不习惯计算。
下面请看一下我的思路:
原函数定义域为x〉=1,那反函数值域也为y>
=1.排除选项C,D.现在看值域。
原函数至于为y>
=1,则反函数定义域为x>
=1,答案为B.
我题目已经做完了,好像没有动笔(除非你拿来写*书)。
思路能不能明白呢?
7.反函数的性质有哪些?
反函数性质:
1、反函数的定义域是原函数的值域(可扩展为反函数中的x对应原函数中的y)
2、反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y对应原函数中的x)
3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称(难怪点(x,y)和点(y,x)关于直线y=x对称
①互为反函数的图象关于直线y=x对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如
(04.上海春季高考)已知函数,则方程的解__________.
8.如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
判断函数单调性的方法有三种:
(1)定义法:
根据定义,设任意得x1,x2,找出f(x1),f(x2)之间的大小关系
可以变形为求的正负号或者与1的关系
(2)参照图象:
①若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性;
(特例:
奇函数)
②若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。
(特例:
偶函数)
(3)利用单调函数的性质:
①函数f(x)与f(x)+c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c是常数),当c>0时,它们是同向变化的;
当c<0时,它们是反向变化的。
③如果函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)+f2(x)和它们同向变化;
(函数相加)
④如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;
如果负值函数f1
(2)与f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化;
(函数相乘)
⑤函数f(x)与在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递增的;
若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]反向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递减的。
(同增异减)
⑦若函数y=f(x)是严格单调的,则其反函数x=f-1(y)也是严格单调的,而且,它们的增减性相同。
f(g)
g(x)
f[g(x)]
f(x)+g(x)
f(x)*g(x)都是正数
增
减
/
∴……)
9.如何利用导数判断函数的单调性?
值是()
A.0 B.1 C.2 D.3
∴a的最大值为3)
10.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?
(f(x)定义域关于原点对称)
注意如下结论:
(1)在公共定义域内:
两个奇函数的乘积是偶函数;
两个偶函数的乘积是偶函数;
一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
11.判断函数奇偶性的方法
一、定义域法
一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数.
二、奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算,然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
三、复合函数奇偶性
f(x)*g(x)
奇
偶
非奇非偶
12.你熟悉周期函数的定义吗?
函数,T是一个周期。
)
我们在做题的时候,经常会遇到这样的情况:
告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来,这时说这个函数周期2t.推导:
,
同时可能也会遇到这种样子:
f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思:
函数f(x)关于直线对称,对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。
比如,f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。
如:
13.你掌握常用的图象变换了吗?
联想点(x,y),(-x,y)
联想点(x,y),(x,-y)
联想点(x,y),(-x,-y)
联想点(x,y),(y,x)
联想点(x,y),(2a-x,y)
联想点(x,y),(2a-x,0)
(这是书上的方法,虽然我从来不用,但可能大家接触最多,我还是写出来吧。
对于这种题目,其实根本不用这么麻烦。
你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到,可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。
看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。
注意如下“翻折”变换:
14.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
(k为斜率,b为直线与y轴的交点)
的双曲线。
应用:
①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
②求闭区间[m,n]上