高三数学立体几何专题训练Word文档格式.doc
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住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦)、二面角(注意观察是钝角还是锐角,一般
情况下是锐角)。
向量法建系要用黑色签字笔在答题卡上建,并用文字说明,注意检查所写
的点或向量坐标有无错,注意用向量数量积公式求夹角余弦时的运算,注意是否作答。
特别
的说明:
广东近年的立体几何题图形都比较新颖特别,但其实都很简单,无需紧张。
用向量
还是综合法,视题目(更适合哪种方法)和个人情况而定。
最后适当注意:
求解线面所成角
要转换(比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系)和翻折问题。
下面的例题仅供参考。
【题例】1.如图3所示,在四面体P—ABC中,已知PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,.F是线段PB上一点,,点E在线段AB上且EF⊥PB.
(I)证明:
PB⊥平面CEF;
(Ⅱ)求二面角B—CE-F的正切。
选题目的,练好计算(包括三角形各边,二面角求解)
练好规范;
判定是否适用向量。
2.翻折问题.体积问题.函数导数)如图6所示,等腰△ABC的底
边,高CD=3,点E是线段BD上异于点B,D的动点,点F在BC边上,且EF⊥AB,现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AE,记BE=x,V(x)表示四棱锥P一ACEF的体积.
(1)求V(x)的表达式;
(2)当x为何值时,V(x)取得最大值?
(3)当V(x)取得最大值时,求异面直线AC与PF所成角的余弦值
3、(组合图形问题)如图所示:
边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF
所在的平面互相垂直且,ED∥AF,且∠DAF=900
(1)求BD和面BEF所成的角的正弦;
(2)线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的
平面和直线DB垂直,若存在,求EP与PF的比值;
若不存在,说明理由。
总结:
解决存在性问题方法:
1.先假设存在,再去推理,下结论:
2.运用推理证明计算得出结论,或先利用条件特例得出结论,然后再根据条件给出证明或计算。
4.(视图,无棱二面角问题)四棱锥P—ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示.
(1)写出四棱锥P一ABCD中四对线面垂直关系(不要求证明);
(2)在四棱锥P--ABCD中,若E为PA的中点,求证:
BE∥平面PCD;
(3)在四棱锥P一ABCD中,设面PAB与面PCD所在的角为θ(00<
θ≤900),求cosθ的值.
5.(无棱二面角问题)如图,四棱锥S一ABCD的底面是边长为l的正方形.SD
垂直于底面ABCD,
(1)求证:
BC⊥SC
(2)求面ASD与面BSC所成二面角的大小;
(3)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成角的大小.
6.
如图①边长为1的正方形ABCD中,点E、
F分别为AB、BC的中点,将ABEF剪去,将
△AED、△DCF分别沿DE、DF折起,使A、
C两点重合于点P得一三棱锥如图②示.
PD⊥EF:
(2)求三棱锥P—DEF的体积;
(3)求DE与平面PDF所成角的正弦值.
7、如图,在四棱锥P一ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=600,Q为AD的中点。
(1)若PA=PD,求证:
平面PQB⊥平面PAD;
(2)点M在线段PC上,PM=tPC,试确定t的值,使PA∥平面MQB
(3)在
(2)的条件下,若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2
求二面角M—BQ-C的大小。
8.(本小题满分l4分)
如图,△ABC是以∠ABC为直角的三角形,SA⊥平面ABC,SA=BC=2。
AB=4.M、N、D分别是SC、AB、BC的中点。
MN⊥AB;
(2)求二面角S-ND—A的余弦值:
(3)求点A到平面SND的距离。
参考答案
l(I)证明:
∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形,同理可证△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形,△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形.故PA⊥平面ABC,又
而,故CF⊥PB,又已知EF⊥PB
∴PB⊥平面CEF
(II)由(I)知PB⊥CE,PA⊥平面ABC.∴AB是PB在平面ABC上的射影,故AB⊥CE
在平面PAB内,过F作FF1垂直AB交AB于F1,则FF1⊥平面ABC,EFl是EF在
平面ABC上的射影,∴EF⊥EC,故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角.
二面角B—CE一F的正切为
说明:
本题不适宜用向量
2
(1)由折起的过程可知,PE⊥平面ABC,
(2)
所以时,单调递增;
时,单调递减;
因此时,V(x)取得最大值
(3)过F作MT∥AC交AD与M,则
在△PFM中,
∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为
3解
(1)因为AC、AD、AB两两垂直,建立如图坐标系,则B(2,0,0),D(0,0,2)
E(1,l,2),F(2,2,0)。
则
设平面BEF的法向量,则
则可取
∴向量和所成角的正弦为
即BD和面BEF所成的角的正弦
(2)假设线段EF上存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直,不妨设
则P点坐标为
则向量
向量
所以
故存在这样的点P,当点P为EF中点时,BD⊥面PAC
4.解
(1)如图,在四棱锥P一ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥平面PAB,BC⊥平面PAB,AB⊥平面PAD.
(2)依题意AB、AD、AP两两垂直,分别以直线AB、AD、AP为轴,建立空间直角坐标系,如图.则P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0).
∵E是PA中点,∴点E的坐标为(0,0,1),
设是平面PCD的法向量.
由,即
取y=1,得为平面PCD的一个法向量.
平面PCD.
又平面PCD,∴BE∥平面PCD.
(3)由
(2),平面PCD的一个法向量为
又∵AD⊥平面PAB,∴平面PAB的一个法向量为
5、方法一.解:
(1)如图建立空间直角坐标系.则有B(1,1,0),C(0,1,0),S(0,0,1)
于是.于是
所以,于是BC⊥SC,
(2)显然平面ASD的法向量为,设平面SCB的法向量为
则有,即,解得
由于
所以与的夹角为450,由图可以判断面ASD与面BSC所成的角为锐角,因此与与
的夹角相等,从而面ASD与面BSC所成的角为450.
(3)M点坐标为于是,而,并且
于是DM⊥SB,即异面直线DM与SB所成角的为900:
方法二:
几何法更快
6.
(1)证明:
依题意知图①折前AD⊥AE,CD⊥CF.∴PD⊥PE,PF⊥PD,……2分
∴PD⊥平面PEF………3分
又平面PEF∴PD⊥EF………4分
(2)解法l:
依题意知图①中
在△BEF中
在△PEF中
…………7分
………8分
(2)解法2:
在△BEF中……………………5分
取EF的中点M,连结PM,则PM⊥EF…………6分
……………7分
…………8分
(3)由
(2)知PE⊥PF,又PE⊥PD∴PE⊥平面PDF…………10分
∴∠PDE为DE与平面PDF所成的角,…………………………11分
在Rt△PDE中.……………l2分
…………14分
7.解:
(1)连BD,四边形ABCD菱形,∵AD⊥AB,∠BAD=600,△ABD为正三角形,Q为AD中点,∴AD⊥BQ,∵PA=PD,Q为AD的中点,AD⊥PQ,又BQ∩PQ=Q.∴AD⊥平面PQB,
平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD
(2)当时,PA∥平面MQB,
下面证明,若PA∥平面MQB,连AC交BQ于N,
由AQ∥BC,可得∽,
即
∵PA∥平面MQB,平面PAC,
平面PAC∩平面MQB=MN,∴PA∥MN
即:
(3)由PA=PD=AD=2,Q为AD的中点,则PQ⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,所以PQ⊥平面ABCD,以Q为坐标原点,分别以QA、QB、QP所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的坐标系,则各点坐标为
令,则,由,
得点的坐标,
设平面MQB的法向量为,可得
,∴,解得
取平面ABCD的法向量
又因为二面角M—BQ—C为锐二面角,所以其大小为600。
8
(1)略证:
作ME⊥AC,连接NE,可证得AB⊥平面MNE,即得MN⊥AB……4分
过A作AF垂直DN且与DN的延长线相交于点F,连接SF
在△DBN中,,
在Rt△AFN中,
在Rt△SAF中,
(3)过点A作AH⊥SF于H,由
(2)知平面SAF⊥平面SND∴AH⊥面SND
∴AH的长为点A到平面SND的距离
在Rt△AHF中,
故点A到平面SND的距离为……………………14分
解法二:
(向量法)B为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图),
由题意得M(1,2,1),N(0,2,0)
设平面SND的法向量为
则,且,
令解z=1得:
x=2,y=-1
又平面AND的法向量为
(3)
9