高一立体几何平行垂直解答题精选Word文档下载推荐.docx
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，E、F分别是AC、AD上的动点，且
不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?
7．如图，在菱形中，与相交于点，平面，.
（I）求证：
（II）当直线与平面所成的角的余弦值为时，求证：
；
（III）在（II）的条件下，求异面直线与所成的余弦值.
8．如图，四棱锥中，，，，，分别为和的中点，平面.
（2）是否存在线段上一点，使用平面，若存在，求的值；
如果不存在，说明理由.
9．如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，底面是边长为2的菱形，是的中点，过三点的平面交于，为的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面；
（3）平面平面.
10．如图，四棱锥中，平面，//，，，分别为线段，的中点.
（Ⅰ）求证：
//平面；
（Ⅱ）求证：
（Ⅲ）写出三棱锥与三棱锥的体积之比.（结论不要求证明）
11．如图，点是菱形所在平面外一点，，是等边三角形，，，是的中点.
（Ⅲ）求直线与平面的所成角的大小.
12．在四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，且侧面底面，，分别为，的中点.
平面平面.
（Ⅲ）侧棱上是否存在点，使得平面？
若存在，求出的值；
13．在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，，，．
A
B
C
D
E
P
平面；
（3）在线段上是否存在一点，使得二面角为？
若存在,求的值；
若不存在，请述明理由．
试卷第5页，总5页
参考答案
1．见解析
【解析】试题分析：
根据题目给出的P，Q分别是A1B1，BC的中点，想到取AB的中点G，连接PG，QG后分别交BM，BN于点E，F，根据题目给出的线段的长及线段之间的关系证出
==，从而得到EF∥PQ，然后利用线面平行的判定即可得证；
试题解析：
如图，取AB中点G，连接PG，QG分别交BM，BN于点E，F，则E，F分别为BM，BN的中点.而GE∥AM，GE=AM，GF∥AN，GF=AN，且CN=3AN，所以=，==，所以==，所以EF∥PQ，又EF⊂平面BMN，PQ⊄平面BMN，所以PQ∥平面BMN.
2．详见解析.
【解析】试题分析:
由正方体的特征及N为BB1的中点，可知平面A1FC与直线DD1相交，且交点为DD1的中点G.若过M，E的平面α与平面A1FCG平行，注意到EM∥B1D1∥FG，则平面α必与CC1相交于点N，结合M，E为棱C1D1，B1C1的中点，易知C1N∶C1C＝.于是平面EMN满足要求．
试题解析:
如图，设N是棱C1C上的一点，且C1N＝C1C时，平面EMN过点E，M且与平面A1FC平行．
证明如下：
设H为棱C1C的中点，连接B1H，D1H.
∵C1N＝C1C，
∴C1N＝C1H.
又E为B1C1的中点，
∴EN∥B1H.
又CF∥B1H，
∴EN∥CF.
又EN⊄平面A1FC，CF⊂平面A1FC，
∴EN∥平面A1FC.
同理MN∥D1H，D1H∥A1F，
∴MN∥A1F.
又MN⊄平面A1FC，A1F⊂平面A1FC，
∴MN∥平面A1FC.
又EN∩MN＝N，
∴平面EMN∥平面A1FC.
点睛:
本题考查线面平行的判定定理和面面平行的判定定理的综合应用,属于中档题.直线和平面平行的判定定理:
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行;
平面与平面平行的判定定理：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面分别平行，则这两个平面平行．
3．
（1）见解析
（2）见解析
（1）连接，，由分别是，的中点可证∥，即可证明∥平面；
（2）由∥且可证为平行四边形，即可证∥，再根据即可证明.
（1）连接，，因为分别是，的中点，
所以∥，且平面，
所以∥平面
（2）由题意∥且，所以为平行四边形，所以∥，
由（Ⅰ）∥，且，所以
4．
（1）证明见解析；
（2）存在，见解析；
（1）要证明平面平面，只需证平面，则只需证,
再根据题目条件分别证明即可；
（2）首先猜测存在的中点满足平面，作辅助线，通过，由线面平行的判定定理，证明平面。
解：
（1）因为平面平面，
平面平面，所以平面，
因为平面，所以,
又为圆的直径，所以,
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）如图，取的中点的中点，连接，
则，
又，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面平面，
所以平面，
即存在一点为的中点，使得平面.
5．
（1）见解析；
（2）见解析；
（3）．
（1）要证线面平行，就是要证线线平行，考虑过直线的平面与平面的交线（其中是与的交点），而由中位线定理易得，从而得线面平行；
（2）由于是正三角形，因此有，从而只要再证与平面内另一条直线垂直即可，这可由正棱柱的侧棱与底面垂直得到，从而得线面垂直，于是有面面垂直；
（3）要求四棱锥的体积，由正三棱柱的性质知中，边的高就是四棱锥的高，再求得四边形的面积，即可得体积．
（）证明：
连接，交于点，连接，
∵在中，
，分别是，中点，
∴，
∵平面，
平面，
∴平面，
∵在等边中，
是棱中点，
又∵在正三棱柱中，
∵点，
，平面，
∴平面平面．
（）作于点，
∴是四棱锥高，
，
底面积，
．
【点睛】
（1）证明平面和平面垂直的方法：
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理.
（2）已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
6．
（1）见解析
（2）λ＝
【解析】
（1）证明：
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
∵＝λ（0＜λ＜1），
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD.
∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF.
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
（2）解：
由
（1）知，BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD.∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°
，∠ADB＝60°
∴BD＝，AB＝tan60°
＝.
∴AC＝＝.
由AB2＝AE·
AC，得AE＝.∴λ＝＝.
故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD
7．（I）见解析；
（II）见解析；
（III）．
（I）要证与平面垂直，只要证与平面内两条相交直线垂直即可，这由已知线面垂直可得一个，又由菱形对角线垂直又得一个，由此可证；
（II）由已知线面垂直得平面，从而知为直线与平面所成的角，从而可得，然后计算出三线段的长，由勾股定理逆定理可得垂直；
（III）取中点，则有，从而可得异面直线所成的角，再解相应三角形可得．
（I）平面；
（II）平面直线与平面所成的角而且中，，过作交于点中中中；
（III）取边的中点，连接且为所求的角或其补角，而在中，中
异面直线与所成的余弦值为.
8．
（1）证明见解析；
（2）.
试题分析：
（1）以为原点建立空间直角坐标系，可得，，
，又得平面，进而得结论；
（2）设，可得平面的一个法向量为，再根据可解得.
（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，
，，，所以中点，则，，则，
所以.
又平面，所以，由，
又平面，所以平面平面.
（2）法一：
设，则，，则，
设平面的一个法向量为，，，
所以，则，令，
得，
设，则
若平面，则，解得.
法二：
（略解）：
连接延长与交于点，连接，若存在平面，则，
证明即可.
考点：
1、利用空间向量证明线面垂直、面面垂直；
2、利用空间向量研究线面平行.
9．
（1）见解析
（2）见解析（3）见解析
（1）先证明四边形是平行四边形，得平面，进而可得结论；
（2）先由面面垂直的性质可得，再证，由可得，可得平面；
（3）由
（2）可得，由等腰三角形性质得，进而由面面垂直的判定定理得结论.
（1）平面
平面
平面平面平面，
又因
是的中点，是的中点，底面是边长为2的菱形，
四边形是平行四边形，
平面
（2）侧面是正三角形，且与底面垂直，为的中点，
由余弦定理可得，由正弦定理可得：
由可得
（3）由
（2）知平面，平面
是的中点，
平面.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：
①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.本题
（1）是就是利用方法①证明的.
10．
（1）见解析
（2）见解析（3）
（Ⅰ）要证线面平行，就要证线线平行，在四边形中，由已知可得与平行且相等，从而得平行四边形，因此有，因可得线面平行；
（Ⅱ）要证与平面垂直，就要证与此平面内两条相交直线垂直，而已知与平面垂直，因此与平面内所有直线垂直，现在已有，因此有，再有，是所在线段中点，因此有，从而也可得，这样可得题设线面垂直；
（Ⅲ）都改为以为顶点，则底面积比为，高的比也是，因此体积比为．
（Ⅰ）证明：
因为//，，
为线段的中点，
所以//且，
所以//，
又有平面，平面，
所以//平面．
（Ⅱ）证明：
因为，分别为线段，中点，所以//，
又因为平面，平面，
所以，；
所以，
又//，所以
因为，
所以平面．
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