高一数学必修一重难点讲解Word文档格式.doc
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配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3.求函数的值域。
将函数配方得：
由二次函数的性质可知：
当x=1时，，当时，
[4，8]
3.判别式法
例4.求函数的值域。
原函数化为关于x的一元二次方程
（1）当时，
解得：
（2）当y=1时，，而
故函数的值域为
例5.求函数的值域。
两边平方整理得：
（1）
但此时的函数的定义域由，得
由，仅保证关于x的方程：
在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程
（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
代入方程
（1）
即当时，
原函数的值域为：
注：
由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4.反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6.求函数值域。
由原函数式可得：
则其反函数为：
，其定义域为：
故所求函数的值域为：
5.函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例7.求函数的值域。
故所求函数的值域为
例8.求函数的值域。
，可化为：
即
6.函数单调性法
例9.求函数的值域。
令
则在[2，10]上都是增函数
所以在[2，10]上是增函数
当x=2时，
当x=10时，
例10.求函数的值域。
原函数可化为：
令，显然在上为无上界的增函数
所以，在上也为无上界的增函数
所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值
显然，故原函数的值域为
7.换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11.求函数的值域。
令，
则
又，由二次函数的性质可知
当时，
例12.求函数的值域。
因
故可令
例13.求函数的值域。
原函数可变形为：
可令，则有
而此时有意义。
例14.求函数，的值域。
令，则
由
且
可得：
∴当时，，当时，
故所求函数的值域为。
例15.求函数的值域。
由，可得
8.数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例16.求函数的值域。
原函数可化简得：
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A
（2），间的距离之和。
由上图可知，当点P在线段AB上时，
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
例17.求函数的值域。
上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，
由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，
例18.求函数的值域。
将函数变形为：
上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。
即：
由图可知：
（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有
（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有
综上所述，可知函数的值域为：
由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。
如：
例17的A，B两点坐标分别为：
（3，2），，在x轴的同侧；
例18的A，B两点坐标分别为（3，2），，在x轴的同侧。
9.不等式法
利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例19.求函数的值域。
原函数变形为：
当且仅当
即当时，等号成立
故原函数的值域为：
例20.求函数的值域。
当且仅当，即当时，等号成立。
由可得：
10.一一映射法
原理：
因为在定义域上x与y是一一对应的。
故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。
例21.求函数的值域。
∵定义域为
由得
故或
解得
11.多种方法综合运用
例22.求函数的值域。
（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：
先换元，后用不等式法
例23.求函数的值域。
∴当时，
此时都存在，故函数的值域为
此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
复合函数
一、复合函数的概念
如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u）,u=g（x）,那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量。
注意：
复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，根据复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g（x）的值域与f（u）的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存在。
例：
f（x+1）=（x+1）可以拆成y=f（u）=u2,u=g（x）,g（x）=x+1,即可以看成f（u）=u2与g（x）=x+1两个函数复合而成。
（1）若f（x）的定义域为a≤x≤b,则f[g（x）]中的a≤g（x）≤b，从中解得x的范围，即为f[g（x）]的定义域。
例1、y=f（x）的定义域为[0，1]，求f（2x+1）的定义域。
答案：
[-1/2，0]
例2、已知f（x）的定义域为（0，1），求f（x2）的定义域。
[-1，1]
（2）若f[g（x）]的定义域为（m,n）则由m<
x<
n确定出g（x）的范围即为f（x）的定义域。
例3、已知函数f（2x+1）的定义域为（0，1），求f（x）的定义域。
答案：
[1，3]
（3）由f[g（x）]的定义域，求得f（x）的定义域后，再求f[h（x）]的定义域。
例4、已知f（x+1）的定义域为[-2，3],求f（2x2–2）的定义域。
[-√3/2，-√3]∪[√3/2，√3]
三、求复合函数的解析式。
1、待定系数法：
在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1设是一次函数，且，求
设，则
2、配凑法：
已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。
例2已知，求的解析式
，
3、换元法：
已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3已知，求
令，则，
复合函数单调性相关定理
1、引理1已知函数y=f［g（x）］.若u=g（x）在区间（a,b）上是增函数，其值域为（c，d），又函数y=f（u）在区间（c,d）上是增函数，那么，原复合函数y=f［g（x）］在区间（a,b）上是增函数
证明在区间（a,b）内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.
因为u=g（x）在区间（a,b）上是增函数，所以g（x1）＜g（x2）,记u1=g（x1）,u2=g（x2）即u1＜u2,且u1,u2∈（c,d）.
因为函数y=f（u）在区间（c,d）上是增函数，所以f（u1）＜f（u2）,即f［g（x1）］＜f［f（x2）］，
故函数y=f［g（x）］在区间（a,b）上是增函数.
2、引理2已知函数y=f［g（x）］.若u=g（x）在区间（a,b）上是减函数，其值域为（c，d），又函数y=f（u）在区间（c,d）上是减函数，那么，复合函数y=f［g（x）］在区间（a,b）上是增函数.
证明在区间（a,b）内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.
因为函数u=g（x）在区间（a,b）上是减函数，所以g（x1）＞g（x2）,记u1=g（x1）,u2=g（x2）即u1＞u2,且u1,u2∈（c,d）.因为函数y=f（u）在区间（c,d）上是减函数，所以f（u1）＜f（u2）,即f［g（x1）］＜f［f（x2）］，故函数y=f［g（x）］在区间（a,b）上是增函数.
3、总结 同增异减
函数奇偶性的判定方法
1．定义域判定法
例1 判定的奇偶性．（非奇非偶）
2．定义判定法f（x）与f（-x）关系
例2 判断的奇偶性．（偶）
3．等价形式判定法
例3 判定的奇偶性．（奇）
评注：
常用等价变形形式有：
若或，则为奇函数；
若或，则为偶函数（其中）．
4．性质判定法
例4 若，是奇函数，是偶函数，试判定的奇偶性．
在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：
①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；
②两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；
③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．
5、练习
（1）.（★★★★）函数f（x）在R上为增函数，则y=f（|x+1|）的一个单调递减区间是_（－∞,－1
（2）（★★★★★）若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d满足f（0）=f（x1）=f（x2）=0（
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