高一数学典型例题分析：同角三角函数的基本关系式Word下载.doc

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（2）若α在第四象限，则

说明 

在解决此类问题时，要注意：

（1）尽可能地确定α所在的象限，以便确定三角函数值的符号．

（2）尽可能地避免使用平方关系（在一般情况下只要使用一次）．

（3）必要时进行讨论．

例2 

已知sinα=m（|m|≤1），求tgα的值．

（2）当m=±

1时，α的终边在y轴上，tgα无意义．

（3）当α在Ⅰ、Ⅳ象限时，∵cosα＞0．

当α在第Ⅱ、Ⅲ象限时，∵cosα＜0，

（1）在对角的范围进行讨论时，不可遗漏终边在坐标轴上的情况．

（2）本题在进行讨论时，为什么以cosα的符号作为分类的标准，而不按sinα的符号（即m的符号）来分类讨论呢？

你能找到这里的原因并概括出所用的技巧吗？

2．三角函数式的化简

三角函数式的化简的结果应满足下述要求：

（1）函数种类尽可能地少．

（2）次数尽可能地低．

（3）项数尽可能地少．

（4）尽可能地不含分母．

（5）尽可能地将根号中的因式移到根号外面来．

化简的总思路是：

尽可能地化为同类函数再化简．

例3 

化简sin2α·

tgα+cos2α·

ctgα+2sinαcosα

=secα·

cscα

解2 

原式=（sin2α·

tgα+sinα·

cosα）+（cos2α·

ctgα+sinαcosα）

=tgα·

（sin2α+cos2α）+ctgα（sin2α+cos2α）

=tgα+ctgα

（1）在解1中，将正切、余切化为正弦、余弦再化简，仍然是循着减少函数种类的思路进行的．

（2）解2中的逆用公式将sinα·

cosα用tgα表示，较为灵活，解1与解2相比，思路更自然，因而更实用．

例4 

化简：

分析 

将被开方式配成完全平方式，脱去根号，进行化简．

3．三角恒等式的证明

证明三角恒等式的过程，实际上是化异为同的过程，即化去形式上的异，而呈现实质上的同，这个过程，往往是从化简开始的——这就是说，在证明三角恒等式时，我们可以从最复杂处开始．

例5 

求证cosα（2secα+tgα）（secα-2tgα）=2cosα-3tgα．

从复杂的左边开始证得右边．

=2cosα-3tgα=右边

例6 

证明恒等式

（1）1+3sin2αsec4α+tg6α=sec6α

（2）（sinA+secA）3+（cosA+cscA）2=（1+secAcscA）2

（1）的左、右两边均较复杂，所以可以从左、右两边同时化简

证明 

（1）右边-左边=sec6α-tg6α-3sin2αsec4α-1

=（sec2α-tg2α）（sec4α+sec2α·

tg2α+tg2α）-3sin2αsec4α-1

=（sec4α-2sec2αtg2α+tg2α）-1

=（sec2α-tg2α）2-1=0

∴等式成立．

=sin2A+cos2A=1故原式成立

在解题时，要全面地理解“繁”与“简”的关系．实际上，将不同的角化为同角，以减少角的数目，将不同的函数名称，化为同名函数，以减少函数的种类，都是化繁为简，以上两点在三角变换中有着广泛的应用．

分析1 

从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，以减少函数的种类．

分析2 

由1+2sinxcosx立即想到（sinx+cosx）2，进而可以约分，达到化简的目的．

（1）当题目中涉及多种名称的函数时，常常将切、割化为弦（如解法1），或将弦化为切（如解法2）以减少函数的种类．

（2）要熟悉公式的各种变形，以便迅速地找到解题的突破口，请看下列．

=secα+tgα

∴等式成立

以上证明中采用了“1的代换”的技巧，即将1用sec2α-tg2α代换，可是解题者怎么会想到这种代换的呢？

很可能，解题者在采用这种代换时，已经预见到代换后，分子可以因式分解，可以约分，而所有这一切都是建立在熟悉公式的各种变形的基础上的，当然，对不熟练的解题者而言，还有如下的“一般证法”——即证明“左边-右边=0”

∴左边=右边

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