高一年级数学秋季后十次课Word格式文档下载.doc

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而当x∈（0，+），x逐渐增加时，函数值y逐渐增加，函数的这两种性质都叫做函数的单调性。

【注意】函数的单调性是针对函数定义域的某个区间而言的，有些函数在它的整个定义域上不存在单调性，而在定义域的某个区间存在单调性。

y=x；

y=

2．增减函数的定义

对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x、x，当x<

x时都有_________________，那么称f（x）在这个区间上是增函数;

当x<

x时都有_________________,那么称

f（x）在这个区间上是减函数.

3．利用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性的一般步骤:

第一步：

取值。

即设x、x是指定区间内的任意两个值，且x<

x；

第二步：

作差变形。

即作差f（x）﹣f（x），并通过因式分解、配方、分母有理化等方法，向有利

于判断差的符号的方向变形；

（部分题目，若能够确定f（x）恒为正，亦可采用作商的方法）；

第三步：

定号。

确定差的正负，当符号不确定时，要进行分区间讨论；

第四步：

判断。

由定义得出结论。

4．判断函数单调性的常见方法

（1）定义法

（2）直接法

运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出，直接判断函数的单调性，可用到以下结论：

①函数y=﹣f（x）与函数y=f（x）的单调性相____

②函数f（x）恒为正或恒为负时，函数y=与y=f（x）的单调性相____

③在公共区间内，增函数+增函数=____函数，增函数﹣减函数=____函数

（3）图像法

根据函数图像的升、降情况进行判断

【常用性质】

1．一些重要函数的单调性

（1）y=x+的单调性：

（﹣，﹣1）↗，（﹣1，0）↘，（0，1）↘，（1，+）↗

（2）y=ax+（ab>

0）的单调性：

（﹣，﹣）↗，（﹣，0）↘，（0，）↘（，+）↗

2．单调性与奇偶性

若奇函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（减），则f（x）在区间[﹣b，﹣a]上单调递增（减）；

若偶函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（减），则f（x）在区间[﹣b，﹣a]上单调递减（增）。

奇函数：

对称区间单调性________ 偶函数：

对称区间单调性________

例1：

判断函数f（x）=在区间（﹣1，1）上的单调性。

例2：

已知f（x）=x+x，判断f（x）在（﹣，+）上的单调性，并证明。

二、函数单调区间及图像特点

【注意】

1．书写函数单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，写成开区间也可；

若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。

2．求复合函数的单调区间的一般步骤是：

（1）求函数的定义域；

（2）求内层函数的单调区间；

（3）考察外层函数的单调性；

（4）由“同增异减”确定复合函数的单调区间

例3：

求下列函数的单调区间：

（1）y=x+（x<

0）；

（2）y=；

（3）y=﹣x+2|x+3|

例4：

作出函数f（x）=|x﹣3|+|x+3|的图像，并指出函数f（x）的单调区间。

例5：

已知f（x）为偶函数，且当x∈[0，+）时单调递减，求f（2x﹣x）（x≤1）的单调区间。

三、函数单调性的应用

例6：

设（a，b），（c，d）都是函数f（x）的单调递增区间，且x∈（a，b），x∈（c，d），x<

x，则f（x）与f（x）的大小关系是 （ ）（A）f（x）<

f（x） （B）f（x）>

f（x）

（C）f（x）=f（x） （D）不能确定

例7：

求函数y=在区间[2，6]上的最大值和最小值。

例8：

已知函数f（x）=x﹣+在（1，+）上是增函数，求实数a的取值范围。

例9：

函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，并且当x>

0时，f（x）>

1.

（1）求证：

f（x）是R上的增函数；

（2）若f（4）=5，解不等式f（3m﹣m﹣2）<

3．

【练习一】

1．已知函数f（x）是定义在（﹣1,1）上的奇函数，且为（﹣1,1）上的减函数，若f（1﹣m）+f（1﹣m）<

0，求实数m的取值范围。

2．定义在实数集上的偶函数f（x）在（0，+）上是递增的，试判断f（﹣）和f（﹣3）的大小关系。

3．已知函数f（x）对任意x、y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x>

0时，f（x）<

0，f

（1）=﹣

f（x）在R上是减函数；

（2）求f（x）在[﹣3,3]上的最大值及最小值。

4．已知奇函数f（x）=

（1）求实数m的值；

（2）若函数f（x）在区间[﹣1，|a|﹣2]上单调递增，求实数a的范围。

5．证明函数f（x）=在区间[1，+）上是减函数，试问f（x）在区间（﹣，﹣1]上是否也是减函数？

在（﹣，﹣1]∪[1，+）上呢？

培优训练

1．求函数的定义域和单调区间。

2．求函数的最小值。

3．已知函数的定义域是，值域是，求a，b的值。

4．设函数，其中。

记函数

g（x）的最大值与最小值的差为h（a）,求h（a）的表达式并求h（a）的最小值.

5．已知x∈[0，1]，则函数的最大值为_______最小值为_________

6．函数在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a的取值范围是　　　　　　　　　　　　（　　）

（A）　　　　　 （B） （C）a<

-1或a>

1　　　　　　 （D）a>

-2

7．已知函数f（x）＝若f（2－a2）>

f（a），则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　　（　　）

（A）（－∞，－1）∪（2，＋∞）（B）（－1,2）（C）（－2,1）（D）（－∞，－2）∪（1，＋∞）

8．函数f（x）对任意的a、b∈R,都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1,并且当x＞0时，f（x）＞1，

f（x）是R上的增函数

（2）若f（4）=5,解不等式f（3m2-m-2）＜3。

9．设f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，

f

（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；

（2）设f

（2）=1，解不等式。

高一年级　　数学学科　　总计20课时　第12课时

课题函数的值域及最值

一、知识要点

1．函数最值的定义：

一般地，设函数的定义域为．

若存在定值，使得对于任意，有恒成立，则称为的最大值，记为；

若存在定值，使得对于任意，有恒成立，则称为的最小值，记为；

2．单调性与最值：

设函数的定义域为

若是增函数，则，；

若是减函数，则，．

二、双基训练

求下列函数的值域

（1）；

（2），

三、例题讲解

1．根据函数图像写单调区间和最值：

如图为函数，的图像，指出它的最大值、最小值及单调区间．

2．求函数值域方法

（1）观察法：

利用常见函数的值域来求

求函数的值域

（1）y=3-

（2）

（2）配方法：

求二次函数值域最基本的方法之一

；

变式１：

变式２：

变式３：

（3）换元法：

适用于形如形式

求函数的值域。

练习：

（4）分离常数法：

（1）

（2）（3）

（1）

（2）（3）

（5）分段函数

求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

|x+2|+|x-3|≥a恒成立，求a的取值范围

（6）判别式法

将函数转化为x的二次方程F（x,y）=0,通过方程有实根，判别式>

=0,从而求得函数的值域，

求函数的值域：

;

（7）不等式法：

利用基本不等式：

若函数f（x）的值域为[1/2,3],则函数F（x）=f（x）+的值域为_____

求函数值域

（8）数形结合法：

若函数的解析式的几何意义较明显，可用数形结合的方法。

例8：

对a,bR.设记max{a,b}=求函数f（x）=max{},的最小值

四、能力训练

1．函数的最大值是